Some Results on Laguerre Type and Mittag-Leffler Type Functions

Abstract

This thesis includes four chapters. In the first chapter, we give general information and some preliminaries that is used throughout the thesis. In Chapter 2, by defining a new class of 2D-Mittag-Leffler functions E(a;b;h;x ;l) g;k (x;y) and 2D-Laguerre polynomials L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y), the two-dimensional fractional integral and two-dimensional fractional derivative properties are derived for them. Moreover, linear generating function for L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) in terms of E(a;b;h;x ;l) g;k (x;y) is obtained. Also, the double Laplace transform of these classes are investigated. A general singular integral equation containing L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) in the kernel is considered and the solution is obtained in terms of E(a;b;h;x ;l) g;k (x;y). Lastly, we obtain the image of E(a;b;h;x ;l) g;k (x;y) under the action of Marichev-Saigo-Maeda integral operators and some consequences are also exhibited. In Chapter 3, linear and mixed multilateral generating functions for the general class of 2D-Laguerre polynomials L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) are derived. Furthermore, a finite summation formula for L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) is obtained. Moreover, series relation between L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) and product of confluent hypergeometric functions is derived with the help of two-dimensional fractional derivative operator. In Chapter 4, new classes of bivariate Mittag-Leffler functions E(g) a;b;k (x;y) and 2DKonhauser- Laguerre polynomials kL(a;b) n (x;y) are introduced. Some of them associated with fractional calculus are given. Also, a convolution type integral equation with the polynomials kL(a;b) n (x;y) in the kernel is considered and the solution is obtained by means of E(g) a;b;k (x;y). Furthermore, a double linear generating function is obtained for the polynomials kL(a;b) n (x;y) in terms of E(g) a;b;k (x;y). Finally, some miscellaneous properties of E(g) a;b;k (x;y) and kL(a;b) n (x;y) are exhibited. Keywords: Mittag-Leffler functions, Laguerre and Konhauser polynomials, Laplace transform, fractional integrals and derivatives, generating functions, convolution integral equation, singular integral equation

ÖZ: Bu tez 4 bölümden olu¸smaktadır. Birinci bölümde tez ile ilgili genel bilgiler ve tezde kullanılan tanımlar hakkında bilgiler verilmi¸stir. ˙Ikinci bölümde, 2D-Mittag-Leffler fonksiyonları E(a;b;h;x ;l) g;k (x;y) ve 2D-Laguerre polinomları L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) tanımlanarak, yukarıda belirtilen sınıfların kesirli integral ve türevleri hesaplanmı¸stır. Buna ek olarak, 2D-Laguerre polinomları L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) için 2D-Mittag-Leffler fonksiyonlarını E(a;b;h;x ;l) g;k (x;y) içeren linear do˘gurucu fonksiyon elde edilmi¸stir. Ayrıca, bu sınıfların iki boyutlu Laplace dönü¸sümleri de hesaplanmı¸stır. Çekirde˘ginde L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) bulunan tekil integral denklemi ele alınmı¸s ve çözümü E(a;b;h;x ;l) g;k (x;y) cinsinden verilmi¸stir. Son olarak, E(a;b;h;x ;l) g;k (x;y) fonksiyonlarının Marichev-Saigo-Maeda integral operatörü altındaki görüntüleri elde edilmi¸s ve bazı sonuçlar gösterilmi¸stir. Üçüncü bölümde, 2D-Laguerre polinomları olarak tanımlanan L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) için linear ve multi-linear do˘gurucu fonksiyonlar elde edilmi¸stir. Buna ek olarak, L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) polinomları için sonlu toplam formülü elde edilmi¸stir. Bunun yanında, kesirli türev operatörü kullanarak, L(a;b;g;h;x ) n;m (x;y) ve birbirine karı¸san hipergeometrik fonksiyon arasındaki seri ili¸skisi gösterilmi¸stir. Dördüncü bölümde, 2D-Konhauser-Laguerre polinomları kL(a;b) n (x;y) ve yeni tanımlanan iki de˘gi¸skenli Mittag-Leffler fonksiyonları E(g) a;b;k (x;y) ele alınarak, onların kesirli türev ve integrallerle ilgili bazı sonuçları hesaplanmı¸stır. Ayrıca çekirde˘ginde kL(a;b) n (x;y) içeren konvolüsyon integral denklemi ele alınmı¸s ve çözümü E(g) a;b;k (x;y) v cinsinden elde edilmi¸stir. Bunun yanında kL(a;b) n (x;y) polinomları için E(g) a;b;k (x;y) içeren linear do˘gurucu fonksiyon elde edilmi¸stir. Son olarak ise, E(g) a;b;k (x;y) fonksiyonları ve kL(a;b) n (x;y) polinomları ile ilgili bir takım özellikler gösterilmi¸stir. Anahtar Kelimeler: Mittag-Leffler fonksiyonları, Laguerre ve Konhauser polinomları, Laplace dönü¸sümleri, kesirli integraller ve türevler, üreten fonksiyonlar, konvolüsyon integral denklemi, tekil integral denklemi