Numerical Solution of Volterra Integral Equations by Using Some Positive Operators

Abstract

The achievement of this research is bifurcated. Firstly, for the numerical solution of the first kind linear Fredholm and Volterra integral equations with smooth kernels a numerical method by using Modified Bernstein-Kantorovich operators is given. The unknown function in the first kind integral equation is approximated by using the Modified Bernstein-Kantorovich operators. Hence, by applying discretization the obtained linear equations are transformed into systems of algebraic linear equations. Due to the sensitivity of the solutions on the input data significant difficulties may be encountered, leading to instabilities in the results during actualization. Consequently, to improve on the stability of the solutions which implies the accuracy of the desired results, regularization features are built into the proposed numerical approach. More stable approximations to the solutions of the Fredholm and Volterra integral equations are obtained especially when high order approximations are used by the Modified Bernstein-Kantorovich operators. Test problems are constructed to show the computational efficiency, applicability and the accuracy of the method. Furthermore, the applicability of the proposed method on second kind Volterra integral equations with smooth kernels is also demonstrated with examples. Secondly we give hybrid positive linear operators which are defined by using the Bernstein-Kantorovich and Modified Bernstein-Kantorovich operators on certain subintervals of [0,1]. Additionally, we consider second kind linear Volterra integral equations with weak singular kernels of the form (x−t) −vKe(x,t), 0 < v < 1, where Ke is a smooth function. It is well known that the solution usually possess singularities at the initial point. Subsequently, we develop a combined method which uses the proposed hybrid operators and approximates the solution on the constructed subintervals. Two algorithms are developed through the given combined method and applied on some examples from the literature. Furthermore, numerical validation of the combined method is also given on first kind integral equations, by first utilizing regularization. Eventually, it is shown that the proposed combined method hence, the given computational algorithms are numerically stable and give acceptable accurate approximations to solutions with singularities.

ÖZ: Bu ara¸stırmanın ba¸sarısı ikiye ayrılır. ˙Ilk olarak, Modifiye Bernstein-Kantorovich operatörlerini kullanarak düz(smooth) çekirdekli birinci tür lineer Fredholm ve Volterra integral denklemlerininin çözümü için nümeriksel bir yöntem verilir. Birinci tür integral denkleminde bilinmeyen fonksiyon, Modifiye Bernstein-Kantorovich operatörlerini kullanalarak yakla¸sık hesaplanır. Böylece, ayrı¸strıma uygulanarak elde edilen lineer denklemler cebirsel lineer denklem sistemlerine dönü¸stürülür. Yöntemin nümeriksel olarak gerçekle¸smesi a¸samasında çözümlerin giri¸s verileri üzerindeki hassasiyeti elde edilen sonuçlarda kararsızlıklara yol açabilen önemli zorluklar olu¸sturabilir. Sonuç olarak, istenen yakla¸sık çözümlerin kararlıgını artırmak için ki bu ˘ nümeriksel çözümlerin dogrulu ˘ gunu belirler, önerilen nümeriksel yöntemde ˘ düzenlile¸stirme özellikleri kullanılır. Fredholm ve Volterra integral denklemlerinin çözümlerinde, özellikle Modifiye Bernstein-Kantorovich operatörleri tarafından yüksek dereceli yakla¸sımlar kullanıldıginda daha kararlı yakla¸sımlar elde edilir. ˘ Yöntemin hesaplama verimliligini, uygulanabilirli ˘ gini ve do ˘ grulu ˘ gunu göstermek için ˘ test problemleri olu¸sturulur. Ayrıca, önerilen yöntemin düz (smooth) çekirdekli ikinci tür Volterra integral denklemleri üzerindeki uygulanabilirligi de örneklerle gösterilir. ˘ ˙Ikinci olarak, [0,1] arlıgının belirli alt aralıklarında Bernstein-Kantorovich ve ˘ Modifiye Bernstein-Kantorovich operatörlerini kullanarak tanımlanmı¸s hibrit lineer pozitif operatörler verilir. Ayrıca Ke düzgün bir fonksiyon olup (x−t) −vKe(x,t), 0 < v < 1, ¸seklindeki zayıf singülerli çekirdege sahip ikinci tür lineer Volterra integral ˘ denklemleri dikkate alınır. Çözümün genellikle ba¸slangıç noktasında singülerlige˘ sahip oldugu iyi bilinmektedir. Sonradan, önerilen hibrit operatörlerini kullanan ve ˘ çözümü hibrit operatörlerin tanımlandıgı alt aralıklarda yakla¸sık olarak hesaplayan bir birle¸sik yöntem olu¸sturulur. Verilen birle¸sik yöntem ile iki algoritma geli¸stirilir ve literatürden bazı örnekler üzerinde uygulanır. Üstelik, önce düzenlile¸stirme kullanarak birinci tür integral denklemler üzerinde de birle¸sik metodun nümeriksel dogrulaması yapılır. Sonuçta önerilen sayısal birle¸sik yöntemin, dolayısıyla verilen ˘ hesaplama algoritmalarının sayısal kararlı oldugu ve singülerli ˘ gi olan çözümlere ˘ kabul edilebilir dogruluklu yakla¸sımlar verdi ˘ gi gösterilir.