Fourier Series and Integrals

Abstract

ABSTRACT: This thesis consists of six chapters. Introduction is in the first chapter. In the second chapter we present a method for solving partial differential equation by use of Fourier series. The method is called separation of variables. In the third chapter we show that the Fourier series converges under certain reasonable general hypothesis. We give important results like Riemann-Lebesgue Lemma, Dirichlet kernels and three important conditions for the convergence of Fourier series at a point Dini’s, Lipchitz and Dirichlet-Jordan conditions. In the fourth chapter Fourier series are studied in more general point of view, considering functions as elements of abstract inner product space. Bessel’s inequality, Parseval’s identity, Cesaro summability and Fejer kernels are important results that are given. In the fifth chapter is set the problem of uniform convergence of Fourier series based on piecewise-smooth functions. In addition it is given Weierstrass approximation theorem and Gibbs phenomenon, the case when the function is not uniformly convergent. In the last chapter we deal with convergence of Fourier integrals. First we introduce the Fourier integral formula and then give the analogs of Dini’s, Lipchitz and Dirichlet- Jordan conditions for Fourier integrals. Keywords: Dirichlet kernels, Bessel’s inequality, Parseval’s identity, Cesaro summability, Fejer kernels.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ÖZ: Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde Fourier serileri kullanarak kısmi türevli denklemin çözüm metodunu sunmaktayız. Bu metoda değişkenlerine ayırma metodu denir. Üçüncü bölümde genel hipotezler altında Fourier serilerinin yakınsaklığı gösterildi. Riemann Lebesgue Lemma , Dirichlet çekirdekleri gibi önemli sonuçlar verildi ve Fourier serilerinin bir noktada yakınsaması için üç önemli koşul: Dini, Lipshctiz ve Dirichlet-Jordan'dır. Dördüncü bölümde Fourier serilerinin soyut iç çarpım uzaylarının elemanları olan fonksiyonlar olduğu dikkate alınarak , geniş çapta çalışıldı.Bunlar arasında en önemlileri Bessel eşitsizliği, Parseval özdeşiliği, Cesaro toplanabilirlik ve Fejer çekirdekleridir. Beşinci bölümde parçalı düzgün fonksiyonlar üzerine Fourier serilerinin düzgün yakınsaması problemi ortaya konulmuştur.Bunun yanı sıra fonksiyon düzgün yakınsak olmadığında Weistrass yaklaşım teoremi ve Gibbs fenomeni verilmiştir. Son bölümde Fourier integrallerinin yakınsaması ele alınmıştır. Öncelikle Fourier integral formülü ve sonra Fourier integralleri için Dini, Lipschitz ve Dirichlet-Jordan şartlarının benzerleri verilmiştir. Anahtar Kelimeler: Dirichlet çekirdekleri, Bessel eşitsizliği, Parseval özdeşliği, Cesaro toplanabilirlik, Fejer çekirdekleri.