Some properties of appell polynomials

Abstract

ABSTRACT: This thesis consists of five chapters. The first Chapter gives general information about the thesis. In the second Chapter, some preliminaries and auxilary results that are used throughout the thesis are given. The original parts of the thesis are Chapters 3, 4 and 5 which are established from [35], [46] and [48]. In Chapter three, extended 2D Bernoulli and 2D Euler polynomials are introduced. Moreover, some recurrence relations are given. Differential, integrodifferential and partial differential equations of the extended 2D Bernoulli and the extended 2D Euler polynomials are obtained by using the factorization method. The special cases reduces to differential equation of the usual Bernoulli and Euler polynomials. Note that the results for the usual 2D Euler polynomials are new. In Chapter four, we consider Hermite-based Appell polynomials and give partial differential equations of them. In the special cases, we present the recurrence relation, differential, integro-differential and partial differential equations of the Hermite-based Bernoulli and Hermite-based Euler polynomials. In Chapter five, introducing k-times shift operators, factorization method is generalized. The differential equations of the Appell polynomials are obtained. For the special case k = 2, differential equation of Bernoulli and Hermite polynomials are exhibited. Keywords: 2D Bernoulli polynomial, 2D Euler polynomial, extended 2D Bernoulli polynomial, extended 2D Euler polynomial, Hermite-based Appell polynomials, factorization method.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÖZ: Bu tez beş bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde, tez ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, tezde kullanılan tanım ve kavramlar hakkında temel bilgiler ve sonuçlar verilmiştir. Bu tezin orijinal kısımları [35], [46] ve [48] nolu referanslardan ortaya çıkan üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerdir. Üçüncü bölümde, iki değişkenli genişletilmiş Bernoulli ve Euler polinomları tanımlanmıştır. Buna ek olarak, iki değişkenli genişletilmiş Bernoulli ve Euler polinomlarının sağladığı rekürans bağıntıları verilmiştir. Faktorizasyon metodu kullanılarak, bu polinom ailelerinin sağladığı diferensiyel, integro-diferensiyel ve kısmi diferensiyel denklemler bulunmuştur. Özel durumlar, Bernoulli ve Euler polinomlarının diferensiyel denklemlerine düşer. Belirtelim ki, sonuçlar iki değişkenli Euler polinomları için yenidir. Dördüncü bölümde, Hermite tabanlı Appell polinomları göz önüne alınmış ve bu polinomların sağladığı kısmi diferensiyel denklemler bulunmuştur. Özel durumlar olarak, Hermite-tabanlı Bernoulli ve Hermite-tabanlı Euler polinomlarının diferensiyel, integrodiferensiyel ve kısmi diferensiyel denklemleri verilmiştir. Beşinci bölümde, k-defa artıran ve k-defa azaltan operatörler kullanılarak, faktorizasyon metodu genişletilmiş ve böylece Appell polinomlarının diferensiyel denklemleri bulunmuştur. Özel olarak, k = 2 için Bernoulli ve Hermite polinomlarının diferensiyel denklemleri verilmiştir. Anahtar Kelimeler: İki değişkenli Bernoulli polinomu, iki değişkenli Euler poliiv nomu, genişletilmiş iki değişkenli Bernoulli polinomu, genişletilmiş iki değişkenli Euler polinomu, Hermite-tabanlı Appell polinomları, faktorizasyon metodu.