Fractional Derivative and Integral

Abstract

ABSTRACT: In this thesis we studied fractional order derivative and integral. In Chapter1, a brief history on the foundation of fractional derivative and integration has been given. In the second chapter, some definitions and theorems have been provided. Also some needed special functions such as Gamma, Beta, Mittag-Leffler and Wright function have taken place in this chapter. Properties of fractional derivative and integral are discussed in Chapter 3. We started to this chapter by the discussion of the Abel integral equation and it’s application. In the first section of Chapter 3, fractional integral in the space of integrable functions and related properties has been given. The second section is devoted to basic definitions and properties of fractional derivative and integral. Definition of fractional integral and derivative of complex order take place in the third section together with some related theorems. Fourth section contains fractional integrals of some elementary functions. In the last section of Chapter 3, we discussed fractional differentiation and integration as reciprocal operations. Keywords: Fractional Equation, Fractional Derivative, Fractional Integral. …………………………………………………………………………………………………………………………

ÖZ: Bu tez üç bölümden olusmaktadır. Birinci bölüm giris kısmına ayrılmı¸stır. Kesirli türev ve integralin nasıl meydana getirildiginden bahsedilmistir. Ikinci bölümde bazı fonksiyon tanımlarına yer verilmistir. Ayrıca tezde kullanılacak olan bazı özel fonksiyonlar verilmistir. Bu özel fonksiyonlar Gama fonksiyonu, Beta fonksiyonu, Mittang Leffler fonksiyonu ve Wright Fonksiyonu’dur. Üçüncü bölümde genel olarak kesirli türev ve integrale giris yapılmistir, bazı özel fonksiyonlarla iliskilendirildi ve bunların özelliklerine yer verildi. Bu bölümü inceliyelim. Öncelikle Abel integral denklemi açıklanmis, özel fonksiyonlarla islemler yapılmistir. Birinci kısımda integrallenebilir fonksiyonlar uzayında kesirli integeralin çözülebilirligi bazı teoremlerle ispatlanarak açıklanmıstır. Ikinci kısımda kesirli türev ve integralin tanımları verilmis ayrıca kesirli türev ve inegralin bazı basit özelliklerinden bahsedilmistir. Üçüncü kısımda kompleks mertebeden, kesirli türev ve integral alındı ve bunlarla ilgili teoremler ispatlanarak açıklanmistir. Dördüncü kısımda bazı temel fonksiyonlarin kesirli integrali alınmis ve bunlarla ilgili islemler yapılıp istenilen temel fonksiyonlara ulasılmistir. Besinci kısımda, kesirli türev ve integral karsılıklı operatör alınarak bir takım tanımlara yer verilmis ve teoremlerle ispatlanarak açıklanmistir. Son olarak ise, yarıgrup tanımları verilmis, operatörlerin yarı gruplarla iliskisi incelenmis ve bazı uzaylarla da iliskilendirilip ispatlar yapılmistir. Anahtar Kelimeler: Kesirli Denklemler, Kesirli Türev, Kesirli Integral.