q-Matrix Summability Methods

Abstract

ABSTRACT: In this thesis, we mainly focus on q-analogs of matrix methods such as Cesaro, Holder, Euler and Hausdorff methods. A summability method which is generated by an infinite matrix is called a matrix method. As it is well known the first order Cesaro summability method (C, 1), which is generated by the Cesaro matrix of order one, plays an important role in the theory of matrix summability methods. For this reason we first introduce a method to find q-analog of the Cesaro matrix of order one. By using the same method we also obtain q-analogs of Cesaro matrices of order. Summability properties of C1(qk), a natural q-analog of the first order Cesaro method are studied. Using C1(qk), we define a q-density function and evaluate q-density of some subsets of N. As an application of qdensity function, q-statistical convergence which is stronger than statistical convergence is defined. In the last part, we use the relation between Cesaro and Hausdorff matrices to obtain the general form of q- Hausdorff methods. Also, we show that q- Cesaro and q-Holder matrices can be obtained from the general form of q-Hausdorff matrices. Moreover, by using a q-analog of the generating sequence of Euler method, we can obtain a q-Euler method. Finally, we prove the general summability properties of q-Hausdorff methods.

Keywords: Matrix Summability Methods, Statistical Convergence, q-Integers, Cesaro Matrix, Hausdorff Methods, Density Functions.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ÖZ: Bu tezde esas olarak Cesaro, Holder, Euler ve Hausdorff gibi matris metodlarının genelleş tirmeleri üzerine yoğunlaşılmıştır. Bir sonsuz matris tarafından tanımlanan toplanabilirlik metoduna matris toplanabilirlik metodu denir. Birinci dereceden Cesaro matrisi tarafından üretilen, matris toplanabilirlik metodu (C, 1), matris metodlar teorisinde önemli bir rol oynamaktadır. Bu sebepten dolayı öncelikle birinci dereceden q- Cesaro matrislerini bulmak ic¸in bir metod verilmiştir. Bu methodu kullanarak _ 2 N olmak üzere . dereceden q- Cesaro matrislerinin genel formu elde edilmiştir. Birinci dereceden Cesaro matrisinin en doğal q-analoğu olarak görülen C1(qk)’nın bazı toplanabilirlik özellikleri verilmiştir. C1(qk)’yı kullanarak q-yoğunluk fonksiyonu tanımlandı ve bu yoğunluk fonksiyonu yardımı ile N’nin bazı alt kümelerinin q-yoğunlukları hesaplandı. Ayrıca bu q-yoğunluk fonksiyonunun bir uygulaması olarak q-istatistiksel yakınsaklık kavramı verilmiştir. Burada tanımlanan q-istatistiksel yakınsaklığın istatistiksel yakınsaklıktan daha güc¸lüu olduğu ispatlanmıştır. Son kısımda Cesaro ve Hausdorff matris metodları arasındaki ilişki kullanılarak q-Hausdorff matris metodlarının genel formu verilmiştir. Ayrıca bu genel formu kullanarak q- Cesaro ve q-Hölder metodlarının elde edilebildiği gösterilmiştir. Buna ek olarak Euler methodu üreten dizinin bir q-analoğu kullanılarak, bir q-Euler matrisi elde edilmiştir. Son olarak q- Hausdorff metodlarının bazı toplanabilirlik özellikleri ispatlanmıştır.

AnatharKelimeler: Matris Toplanabilirlik Metodu, İstatistiksel Yakınsaklık, q-tamsayıları, Cesaro Matrisi, Hausdorff Metodu, Yoğunluk Fonksiyonu.