Dynamics of a Single Species under Periodic Habitat Fluctuations and Allee Effect

Abstract

The dynamics of a single species and harvested single species that goes extinct when rare, is described by nonlinear differential equations a)Ń = rN ﴾1 – N/K﴿ ﴾N/K – A/K﴿ b)Ń = rN ﴾1 – N/K﴿ ﴾N/K – A/K﴿-hN, (1) where a parameter A(0<A<K) is associated with the Allee effect, r is the intrinsic growth rate, h is the harvesting and K is the carrying capacity of the environment. The intention of this thesis is to study the existence of periodic solutions and their stability properties assuming that r, A, h and K are continuous T - periodic functions. Using rather elementary techniques, we completely describe populations dynamics analyzing influences of both strong (A>0)and weak (A<0)Allee effects. We discuss the effect of harvesting on a single species population in a fluctuating environment whose dynamics is described by a nonlinear differential equation. We consider separately cases of harvesting (h>0)(stocking (h<0)), weak Allee effect (A≤0)and strong Allee effect (A>0). Thus, we answer questions regarding the location of positive periodic solutions and their stability complementing the research in a recent paper by Padhi [14]. Bounds for periodic solutions and estimates for backward blow-up times are also established. Furthermore, we demonstrate advantages of our approach on simple examples to which the results in the cited paper fail to apply. Keywords: Nonlinear differential equation, Allee effect, periodic solutions, stability, blow up, existence, positive solutions, harvesting. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ÖZ: Yetersiz nüfus yogunlugundan dolayı soyu tükenmekte olan tek bir türün ve hasat edilen tek bir türün dinamikleri dogrusal olmayan asagıdaki diferansiyel denklemlerle tanımlanabilir, a)Ń = rN ﴾1 – N/K﴿ ﴾N/K – A/K﴿ b)Ń = rN ﴾1 – N/K﴿ ﴾N/K – A/K﴿-hN, (1) Burada, A parametresi A(0<A<K) Allee etkisi ile iliskilidir, r içsel büyüme oranı, h hasat kaldırma ve K çevrenin tasıma kapasitesidir. Bu tezin amacı r, A, h ve K’nin sürekli T - periyodik fonksiyonlar oldukları kosullarda, periyodik çözümlerin varlıgını ve onların denge özelliklerini arastırmaktır. Temel teknikler kullanarak güçlü (A>0) ve zayıf (A<0) Allee etkileri incelenerek nüfus dinamikleri tamamıyla elde edilmislerdir. Dinamikleri dogrusal olmayan diferansiyel denklemlerle tanımlanan dalgalanma ortamındaki tek bir nüfusun hasatı incelenmemistir. Bu durumda ayrı ayrı hasat (h>0) (stok (h<0)), zayıf Allee etkisi (A≤0) ve güçlü Allee etkisi (A>0) dikkate alınmıştır. Bu arastırmayla Padhi’nin makalesinde [14] ortaya çıkan pozitif periyodik çözümlerin konumları ve bunların istikrarlarıyla ilgili soruları aydınlattık. Periyodik çözümlerin sınırları ve geri darbe süreleri de tanımlanmıstır. Ayrıca, bu çalısmada önerilen yaklasımın avantajı Padhi’nin makalesinde [14] önerdigi sonuçların uygulanmayacagı basit örnekler yardımıyla gösterilmistir.