This thesis includes four chapters. In the first chapter, we give general information and
some preliminaries that is used throughout the thesis.
In Chapter 2, by defining a new class of 2D-Mittag-Leffler functions E(a;b;h;x ;l)
g;k (x;y)
and 2D-Laguerre polynomials L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y), the two-dimensional fractional integral
and two-dimensional fractional derivative properties are derived for them. Moreover,
linear generating function for L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y) in terms of E(a;b;h;x ;l)
g;k (x;y) is
obtained. Also, the double Laplace transform of these classes are investigated. A general
singular integral equation containing L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y) in the kernel is considered
and the solution is obtained in terms of E(a;b;h;x ;l)
g;k (x;y). Lastly, we obtain the image
of E(a;b;h;x ;l)
g;k (x;y) under the action of Marichev-Saigo-Maeda integral operators and
some consequences are also exhibited.
In Chapter 3, linear and mixed multilateral generating functions for the general class
of 2D-Laguerre polynomials L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y) are derived. Furthermore, a finite summation
formula for L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y) is obtained. Moreover, series relation between
L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y) and product of confluent hypergeometric functions is derived with
the help of two-dimensional fractional derivative operator.
In Chapter 4, new classes of bivariate Mittag-Leffler functions E(g)
a;b;k (x;y) and 2DKonhauser-
Laguerre polynomials kL(a;b)
n (x;y) are introduced. Some of them associated
with fractional calculus are given. Also, a convolution type integral equation with
the polynomials kL(a;b)
n (x;y) in the kernel is considered and the solution is obtained
by means of E(g)
a;b;k (x;y). Furthermore, a double linear generating function is obtained
for the polynomials kL(a;b)
n (x;y) in terms of E(g)
a;b;k (x;y). Finally, some miscellaneous
properties of E(g)
a;b;k (x;y) and kL(a;b)
n (x;y) are exhibited.
Keywords: Mittag-Leffler functions, Laguerre and Konhauser polynomials, Laplace
transform, fractional integrals and derivatives, generating functions, convolution integral
equation, singular integral equation
ÖZ:
Bu tez 4 bölümden olu¸smaktadır. Birinci bölümde tez ile ilgili genel bilgiler ve tezde
kullanılan tanımlar hakkında bilgiler verilmi¸stir.
˙Ikinci bölümde, 2D-Mittag-Leffler fonksiyonları E(a;b;h;x ;l)
g;k (x;y) ve 2D-Laguerre polinomları
L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y) tanımlanarak, yukarıda belirtilen sınıfların kesirli integral ve
türevleri hesaplanmı¸stır. Buna ek olarak, 2D-Laguerre polinomları L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y)
için 2D-Mittag-Leffler fonksiyonlarını E(a;b;h;x ;l)
g;k (x;y) içeren linear do˘gurucu fonksiyon
elde edilmi¸stir. Ayrıca, bu sınıfların iki boyutlu Laplace dönü¸sümleri de hesaplanmı¸stır.
Çekirde˘ginde L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y) bulunan tekil integral denklemi ele alınmı¸s ve çözümü
E(a;b;h;x ;l)
g;k (x;y) cinsinden verilmi¸stir. Son olarak, E(a;b;h;x ;l)
g;k (x;y) fonksiyonlarının
Marichev-Saigo-Maeda integral operatörü altındaki görüntüleri elde edilmi¸s ve bazı
sonuçlar gösterilmi¸stir.
Üçüncü bölümde, 2D-Laguerre polinomları olarak tanımlanan L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y) için
linear ve multi-linear do˘gurucu fonksiyonlar elde edilmi¸stir. Buna ek olarak,
L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y) polinomları için sonlu toplam formülü elde edilmi¸stir. Bunun yanında,
kesirli türev operatörü kullanarak, L(a;b;g;h;x )
n;m (x;y) ve birbirine karı¸san hipergeometrik
fonksiyon arasındaki seri ili¸skisi gösterilmi¸stir.
Dördüncü bölümde, 2D-Konhauser-Laguerre polinomları kL(a;b)
n (x;y) ve yeni tanımlanan
iki de˘gi¸skenli Mittag-Leffler fonksiyonları E(g)
a;b;k (x;y) ele alınarak, onların kesirli
türev ve integrallerle ilgili bazı sonuçları hesaplanmı¸stır. Ayrıca çekirde˘ginde
kL(a;b)
n (x;y) içeren konvolüsyon integral denklemi ele alınmı¸s ve çözümü E(g)
a;b;k (x;y)
v
cinsinden elde edilmi¸stir. Bunun yanında kL(a;b)
n (x;y) polinomları için E(g)
a;b;k (x;y)
içeren linear do˘gurucu fonksiyon elde edilmi¸stir. Son olarak ise, E(g)
a;b;k (x;y) fonksiyonları
ve kL(a;b)
n (x;y) polinomları ile ilgili bir takım özellikler gösterilmi¸stir.
Anahtar Kelimeler: Mittag-Leffler fonksiyonları, Laguerre ve Konhauser polinomları,
Laplace dönü¸sümleri, kesirli integraller ve türevler, üreten fonksiyonlar, konvolüsyon
integral denklemi, tekil integral denklemi
