This thesis is aimed to study a new class of Bernoulli, Euler and Genocchi
polynomials in the means of quantum forms. To achieve this aim, we introduce a
new class of q-exponential function and using properties of this function; we reach to
the interesting formulae. The q-analogue of some familiar relations as an addition
theorem for these polynomials is found. Explicit relations between these classes of
polynomials are given. In addition, the new differential equations related to these
polynomials are studied. Moreover, improved q-exponential function creates a new
class of q-Bernoulli numbers and like the ordinary case, all the odd coefficient
becomes zero and leads us to the relation of these numbers and q-trigonometric
functions. At the end we introduce a unification form of q-exponential function. In
this way all the properties of these kinds of polynomials investigated in a general
case. We also focus on two important properties of q-exponential function that lead
us to the symmetric form of q- Euler, q-Bernoulli and q-Genocchi numbers. These
properties and the conditions of them are studied.
Keywords: q-Exponential Function, q-Calculus, q-Polynomials, q-Bernoulli, q-
Euler, q-Genocchi, q-Trigonometric Functions.
ÖZ:
Bu tez kuantum formları uasıtası ile Bernoulli, Euler ve Gennochi polinomların yeni
bir sınıfını incelemeyi amaçlamaktadır. Bu amaca ulaşmak için, q-üstel fonksiyonları
ve bu fonksiyonların özellikleri kullanılarak yeni bir sınıf tanıtılmıştır.Bu polinomlar
için bazı bilindik ilıskilerin q-uyarlamları ek teorem olarak bulunmuştur.
Bu tür polinom sınıfları arasındaki kapalı ilişkiler verilmiştir. Ayrıca bu polinomlarla
ilişkili yeni diferansiyel denklemler çalışılmıştır. Geliştirilmiş q-üstel
fonksiyonlarnin yeni bir q-Bernoulli sayısı oluşturduğu da gösterilmiştir. Buna göre
bilinen q-1 durumunda oldügu gibi tüm tek katsayların sıfır olarak q-üstel
fonksiyonları, için birleşme formu, elde edilmiştir. Böylelıkle, bu tür polinomların
tüm özellikleri genelleştirilmiştir. Ayrıca, q-Euler, q-Bernoulli ve q-Gennochi
sayılaının simetri formlarını elde etmemızi sağloyon, iki önemli q-üstel fonksiyon
özelliğine de odaklanılmıştır.
Anahtar Kelimeler: q-Üstel Fonksiyonlar, q-Kalkülüs, q-Polinomlar, q-Bernoulli,
q-Euler, q-Genocchi, q-Trigonometrik Fonksiyonla.
