In this study we propose special difference problems of the four point scheme and six
point symmetric implicit scheme (Crank and Nicolson) for the approximation of first
and second partial derivatives of the solution ( , ) u x t of the first type boundary value
problem for one-dimensional heat conduction equation, with constant coefficients.
A four point implicit difference problem is proposed for the approximation of
u
x
under
the assumption that the initial function belongs to the Hölder space 5 , C 0 1,
the nonhomogeneous function given in the heat equation is from the Hölder space
3
3 ,
2
, , x t C
the boundary functions are from
5
2 C
also between the initial and boundary
functions the conjugation conditions up to second order (q 0,1,2) are satisfied.
When the initial function belongs to 7 , C the nonhomogeneous term is from
5
5 ,
2
, , x t C
the boundary functions are from
7
2 , C
also the conjugation conditions up to third order
(q 0,1,2,3) are satisfied, a six point implicit difference problem is given. It is proven
that the solution of the constructed four and six point implicit difference problems
converge to the exact value of
u
x
on the grids of order
2 O(h ) and
2 2 O(h )
respectively, where, h is the step size in spatial variable x and is the step size in
time variable t .
Furthermore, boundary value problems and implicit difference problems are given to
the first derivative of the solution with respect to time variable t ,
u
t
and for the
pure second derivative with respect to the spatial variable x . Also special implicit
difference boundary value problem is proposed for the mixed second derivative of the
solution,
2u
xt
. When the initial function belongs to 8 , C the heat source function
given in the heat equation is from
6
6,
2
, , xtC
the boundary functions are from
8
C 2
Hölder spaces and between the initial and boundary function the conjugation
conditions of orders 0,1, 2, 3, 4 q are satisfied, it is proven that the solution of the
proposed implicit difference schemes converge uniformly to the corresponding exact
derivatives
u
t
,
2
2
u
x
and
2u
xt
on the grids of the order
2()Oh . On the other hand,
when the initial function belongs to 10 , C the heat source function is from
8
8,
2
, , xtC
the boundary functions are from
10
2 C
Hölder spaces and between the initial and
boundary functions the conjugation conditions of orders q 0,1,2,3,4,5 are satisfied,
the constructed six-point symmetric (Crank-Nicolson) implicit difference boundary
value problems converge with the order
2 2 O(h ) to the corresponding exact
derivatives
u
t
,
2
2
u
x
and
2u
xt
.
Finally, in order to justify the theoretical results, several numerical examples are
constructed and the obtained results are presented through tables and figures.
Keywords: Finite difference method, Approximation of derivatives, Crank-Nicolson
scheme, Uniform error, Heat equation.
ÖZ:
Bu çalışmada sabit katsayılı tek boyutlu ısı denkleminin birinci çeşit sınır değer
probleminin ( , ) u x t çözömünün birinci ve ikinci kısmi türevlerinin yaklaşık
hesaplanması için dört nokta kapali ve altı nokta simetrik kapalı fark şemalı (Crank ve
Nicolson) özel fark problemleri öne sürüldü.
Başlangıç fonksiyonunun 5 , C 0 1, ısı denklemindeki homojen olmayan
terimin
3
3 ,
2
x,t C
ve sınır fonksiyonlarının
5
2 C
Hölder uzaylarından olduğu ayrıca
başlangıç ve sınır fonksiyonları arasında ikinci dereceye kadar ( 0,1, 2) q bağlayıcı
koşulların sağladığı kabul edildiğinde
u
x
yaklaşımı için dört nokta kapalı fark
problemi öne sürüldü. Başlangıç fonksiyonunun
7 C
olduğu, homojen olmayan
terimin
5
5 ,
2
, , x t C
sınır fornksiyonlarının ise
7
2 , C
Hölder uzaylarından olduğu ve
bağlayıcı koşulların üçüncü dereceye kadar (q 0,1,2,3) sağlandığı durumda ise altı
nokta kapalı fark problemi verildi. Oluşturulan dört nokta ve altı nokta kapalı fark
problemlerinin düğüm noktalarında
u
x
fonksiyonunun gerçek değerine 2 O(h ) ve
2 2 ( ) O h mertebesinden düzgün yakınsadığı isbat edildi ki h , x değişkenindeki
adım uzunluğu, ise zaman değişkeni t için adım uzunluğudur.
İlaveten, çözömün t değişkenine göre kısmi türevi
u
t
, x değişkenine göre ikinci
türevi için sınır problemleri ve kapalı fark problemleri verildi. Ayrıca çözümün ikinci
dereceden karışık türevi
2u
xt
için özel bir fark sınır değer problemi önerildi.
Başlanglç değer fonksiyonun
8
8,
2
, xt C
ısı denklemindeki ısı kaynağı fonksiyonunun
6
6,
2
, xtC
ve sınır fonksiyonlarının
8
2 , C
Hölder uzaylarından olduğu, ve başlangıç ile
sınır forksiyonları arasında bağlama şartlarının 0,1, 2, 3, 4 q dereceden sağlandığı
zaman öne sürülen kapalı fark şemalarının karşılık gelen
u
t
,
2
2
u
x
ve
2u
xt
.
türevlerine düzgün
2()Oh mertebesinden yakınsadığı gösterildi. Diğer taraftan
başlangıç değer fonksiyonun
10 , C
ısı kaynağı fonksiyonunun
8
8,
2
, xtC
; sınır
fonksiyonlarının ise
10
2 C
Hölder uzaylarından ve başlangıç ile sınır fonksiyonları
arasında q 0,1,2,3,4,5 dereceden bağlayıcı koşulların sağlandığı durumda
oluşturulan altı nokta simetrik (Crank-Nicolson) kapalı fark problemleri karşılık gelen
u
t
,
2
2
u
x
ve
2u
xt
türevlerine
2 2 O(h ) mertebesinden düzgün yakınsar.
Son olarak teoretik sonuçları desteklemesi amacı ile birçok sayısal örnekler kuruldu
ve elde edilen sonuçlar tablo ve şekiller ile gösterildi.
Anahtar Kelimeler: Sonlu fark metodu, türerlerin yaklaşık hesaplanması, Crank-
Nicolson şeması, düzgün hata, ısı denklemi.
