This thesis consists of four chapters. In the first chapter, the introduction is offered. In
the second chapter, we give the definitions, concepts and important theorems related
with linear positive operators. We mention about the q-integers which are used to
introduce q-analogue of the positive linear operators that have been intensive of
research on approximation theory. After that, we mention about the definition of the
operators which are introduced by Balázs and Szabados together. As well as, we shed
light on various definitions of q-Balázs-Szabados operators, but we especially work
on the new q-Balázs-Szabados operators which are defined by N. I. Mahmudov and
denoted by
(f x) n q
,
,
. We calculate the formulas of
(t x)
m
n q
,
,
for
m =1, 2, 3, 4
and
we obtain the 1st, 2nd, 3rd and the 4th order moments of the new q-Balázs-Szabados
operators. We also derive the recurrence formula of
(t x)
m
n q
,
,
in terms of
+
1
,
,
a x
a x
t
n
m n
n q
that represents a close connection between the new q-Balázs Szabados operators and the q-Bernstein operators. As well as, we estimate the 2nd order
and the 4th order central moments of the operators
(f x) n q
,
,
, which have a great deal
of importance of getting the results in approximation theory. Besides, we mention
about the Kantorovich type q-analogue of the Balázs-Szabados operators (q-BSK
operators) that have a nondecreasing restriction on
f (x)
to maintain the positivity
property. In the third chapter, we construct a new Kantorovich type q-analogue of the
Balázs-Szabados operators,
n q, ( f x, )
. These new operators have an advantage
compared to the previous ones, they maintain the positivity property without any
restriction on
f (x)
. We give the recurrence formula for
, ( , , 0 )
m
n q
t x m
and
iv
we calculate the formulas of
(t x)
m
n q
,
,
for
m = 0,...,4
. Then, we give some
significant auxiliary findings for the convergence properties of these operators
n,q (f ; x)
. In terms of the usual modulus of continuous functions, we investigate the
local approximation properties and we give Korovkin type approximation theorem for
the operators
n,q (f ; x).
We prove Voronoskaja type theorem and we present the
convergence rate in terms of the usual Lipschitz functions,
() LipM
. In the fourth
chapter, the conclusion is given.
Keywords: q-calculus; q-Bernstein basis function; q-Bernstein operators; q-analogue
of the Balázs-Szabados operators; moments; Voronovskaja theorem.
ÖZ:Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. Bu bölümde teze
ilişkin önbilgiler, daha önce yapılan benzer çalışmalar ve daha önce yapılan
çalışmaların zayıf yönlerinden bahsedilmiştir. Yine bu bölümde tezin amacı ve
ilerleyen bölümlerde neler yapıldığından bahsedilmiştir.İkinci bölümde lineer pozitif
operatörler ve q-tamsayıları ile ilgili tanımlar, kavramlar, bağıntılar ve teoremlerden
bahsedilmiştir. Yine bu bölümde Balázs-Szabados operatörlerinin tanımı verilip bu
operatörlerin farklı q-analoglarından sözedilmiştir. Bu analoglar arasından özellikle
N. Mahmudov tarafından önerilen q-Balázs-Szabados operatörü ele alınmış ve bu
operatörün birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü mertebeden momentleri hesaplanmıştır.
Ayrıca ikinci ve dördüncü mertebeden merkezi momentleri hesaplanmış ve bu
operatörlerin çok popüler olan q-Bernstein operatörlerine bağlı rekürans formülü
bulunmuştur. Bunun yanında E. Özkan tarafından önerilen Balázs-Szabados
operatörlerinin Kantorovich tipli q-analoğundan ve bu analoğun zayıf yönlerinden
bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde Balázs-Szabados operatörlerinin yeni bir
Kantorovich tipli q-analoğu önerilmiştir. Bu yeni operatörler daha önce önerilenlerle
karşılaştırılıp, yeni operatörlerin avantajlarından bahsedilmiştir. Yine bu bölümde yeni
önerilen operatörlere ilişkin rekürans formülü verilmiş ve bu formül yardımıyla
birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü mertebeden momentleri ve birinci, ikinci ve
dördüncü mertebeden merkezi momentleri hesaplanmıştır. Süreklilik modülü
cinsinden yerel yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Ayrıca bu bölümde yeni
operatörlere ilişkin Korovkin tipli teorem ve Voronovskaya tipli teorem verilmiştir.
Bunun yanında klasik Lipschitz fonksiyonu kullanılarak yakınsama oranı verilmiştir.
Dördüncü bölümde ise sonuç ve ileride yapılması planlanan çalışmalar verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: q-kalkülüs; q-Bernstein taban fonksiyonu; q-Bernstein
operatörleri; Balázs-Szabados operatörlerinin q-analoğu; momentler; Voronovskaja
tipli teorem.
