Inverse Problems is a research area dealing with inversion of models or data. An
inverse problem is a mathematical model that is used to obtain information about a
physical object or system from observed measurements. The solution to this problem
is useful because it generally provides information about a physical parameter that
we cannot directly observe or measure. These problems play a very important role in
many areas of science and engineering. In this thesis, we formulated a compact finite
difference scheme for a one dimensional parabolic inverse problem to determine the
solution 𝜙�����(𝑥�����,𝑡�����) and control parameter 𝑐�����(𝑡�����). The global existence and uniqueness of
the solution 𝜙�����(𝑥�����,𝑡�����) was proved using the method of retardation of the time variable
along with an a priori estimation. Also, the existence of solution or solvability of the
formulated compact scheme was proved by employing the homogeneous system of the
tridiagonal system resulted from the formulated scheme. Some numerical results are
presented to show that the accuracy of the space and time directions are improved, and
computation time is shortened largely.
Keywords: Parabolic Inverse Problems, Control Parameter, Existence and
Uniqueness, Compact Difference Scheme.
ÖZ:
Ters Problemler, modellerin veya verilerin ters çevrilmesi ile ilgilenen bir araştırma
alanıdır. Ters problem, gözlemlenen ölçümlerden fiziksel bir nesne veya sistem
hakkında bilgi elde etmek için kullanılan matematiksel bir modeldir. Bu sorunun
çözümü yararlıdır çünkü genellikle doğrudan gözlemleyemediğimiz veya
ölçemediğimiz bir fiziksel parametre hakkında bilgi sağlar. Bu sorunlar bilim ve
mühendisliğin birçok alanında çok önemli bir rol oynamaktadır. Bu tezde, 𝜙����(𝑥����,𝑡����)
çözümünü ve 𝑐����(𝑡����) kontrol parametresini belirlemek için tek boyutlu bir parabolik ters
problem için kompakt sonlu bir fark şeması formüle edilmiştir. 𝜙����(𝑥����,𝑡����) çözümünün
küresel varlığı ve benzersizliği, bir ön tahmin ile birlikte zaman değişkeninin
geciktirme yöntemi kullanılarak kanıtlanmıştır. Ayrıca, formüle edilmiş kompakt
şemanın çözümünün veya çözülebilirliğinin varlığı, formüle edilen şemadan elde
edilen homojen tridiyagonal sistemi kullanılarak kanıtlanmıştır. Uzay ve zaman
yönlerinin doğruluğunun geliştirildiğini ve hesaplama süresinin büyük ölçüde
kısaltıldığını göstermek için bazı sayısal sonuçlar sunulmuştur.
Anahtar Kelimeler: Parabolik Ters Problemler, Kontrol Parametresi, Varlık ve
Teklik, Kompakt Fark Şeması.
