In this thesis, the first type (Dirichlet) boundary value problem for the heat equation
on a rectangle is considered. The research has two main successes.
Firstly, we give a two-stage implicit method of second order accuracy for the
approximation of the first order derivatives of the solution with respect to the spatial
variables. To approximate the solution at the first stage, the unconditionally stable
two layer implicit method on hexagonal grids given by Buranay and Arshad in 2020
is used which converges with second order in space and time variable on the grids. At
the second stage, for the approximation of first derivatives with respect to the spatial
variables we propose special difference boundary value problems on hexagonal grids
of which the boundary conditions are defined by using the obtained solution from the
first stage. Further, uniform convergence of the solution of the constructed special
difference boundary value problems to the corresponding exact derivatives on
hexagonal grids with second order is shown.
Secondly, we give fourth order accurate implicit methods for the computation of the
first order spatial derivatives and second order mixed derivatives involving the time
derivative of the solution. These methods are constructed based on two stages: At the
first stage of the methods, the solution is approximated by using the implicit scheme
given by Buranay and Arshad in 2020 that gives fourth order of convergence in space
and first order in time variables to the exact solution on the constructed hexagonal
grids. For the approximation of the derivative of the solution to the heat equation
with respect to the time variable an analogous scheme is devised. Subsequently, to
approximate the first order spatial derivatives and the second order mixed derivatives
of the solution difference boundary value problems on hexagonal grids are constructed
at the second stages. Further, uniform convergence of these implicit schemes to the
corresponding exact derivatives are shown.
Eventually, the developed second order and fourth order accurate two-stage implicit
methods are used to solve some test problems and the numerical results illustrating the
applicability and the accuracy of the methods are presented through tables and figures.
Keywords: Finite difference method; Hexagonal grid; Stability analysis; Two
dimensional heat equation; Approximation of derivatives.
ÖZ:
Bu tezde, dikdörtgen üzerindeki ısı denkleminin birinci türden (Dirichlet) sınır deger ˘
problemi alınmı¸stır. Ara¸stırmanın iki ana ba¸sarısı vardır.
˙Ilk olarak, ısı denkleminin çözümünün birinci mertebeden uzay degi¸skenlere göre ˘
türevlerinin ikinci dereceden dogruluklu yakla¸sık çözümü için iki a¸samalı kapalı bir ˘
yöntem veriyoruz. ˙Ilk a¸samada çözümü yakla¸sık olarak hesaplamak için Buranay ve
Arshad tarafından 2020 de verilen uzay ve zaman degisterlerine göre ikinci ˘
mertebeden yakınsak altıgen ızgaralarda ko¸sulsuz kararlı iki katmanlı kapalı metod
kullanılmı¸stır. ˙Ikinci a¸samada, birinci mertebeden uzay türevlerin yakla¸sık çözümü
için ilk a¸samadan elde edilen çözümleri sınır ko¸sullarınının belirlenmesi için kullanan
altıgen ızgaralar üzerinde özel fark sınır deger problemleri önerilmi¸stir. Üstelik, ˘
olu¸sturulan özel fark sınır deger problemlerinin çözümünün kar¸sılık gelen kesin ˘
türevlerine altıgen ızgaralar üzerinde ikinci mertebeden düzgün yakınsadıgı gösterilir. ˘
˙Ikinci olarak, ısı denkleminin çözümünün birinci mertebeden uzay degi¸skenlere göre ˘
türevleri ve zaman degi¸skenini içeren ikinci mertebeden karma türevlerinin yakla¸sık ˘
çözümü için dördüncü dereceden dogruluklu kapalı metodlar verilir. Bu metodlar iki ˘
a¸samaya baglı olarak olu¸sturulur. Yöntemlerin ilk a¸samasında, çözüm, Buranay ve ˘
Arshad tarafından 2020’de verilen ve uzay degisterlerine göre dördüncü, zaman ˘
degisterlerine göre birinci mertebeden do ˘ gruluk ile altıgen ızgaralarda kesin çözüme ˘
yakınsama veren ¸semalar kullanılarak yakla¸sık olarak hesaplanır. Isı denkleminin
çözümünün zaman degi¸skenine göre türevinin yakınla¸stırılması için benzer bir ¸sema ˘
tasarlanmı¸stır. Daha sonra, çözümün birinci mertebeden uzay türevlerini ve ikinci
mertebeden karma türevlerininin yakla¸sımı için altıgen ızgaralardaki sınır deger ˘
problemleri ikinci a¸samada olu¸sturulur. Ayrıca, bu kapalı ¸semaların kar¸sılık gelen
kesin türevlerine düzgün yakınsaması gösterilir.
Sonunda, geli¸stirilen ikinci dereceden ve dördüncü dereceden dogruluklu iki a¸samalı ˘
kapalı yöntemler bazı test problemlerini çözmek için kullanılır ve yöntemlerin
uygulanabilirligini ve do ˘ grulu ˘ gunu gösteren sayısal sonuçlar tablo ve ¸sekiller aracılı ˘ gı˘
ile takdim edilir.
Anahtar Kelimeler: Sonlu fark yöntemi; Altıgen ızgara; Kararlılık analizi; ˙Iki
boyutsal ısı denklemi; Türevlerin yakla¸sımı.
