The achievement of this research is bifurcated. Firstly, for the numerical solution of
the first kind linear Fredholm and Volterra integral equations with smooth kernels a
numerical method by using Modified Bernstein-Kantorovich operators is given. The
unknown function in the first kind integral equation is approximated by using the
Modified Bernstein-Kantorovich operators. Hence, by applying discretization the
obtained linear equations are transformed into systems of algebraic linear equations.
Due to the sensitivity of the solutions on the input data significant difficulties may be
encountered, leading to instabilities in the results during actualization. Consequently,
to improve on the stability of the solutions which implies the accuracy of the desired
results, regularization features are built into the proposed numerical approach. More
stable approximations to the solutions of the Fredholm and Volterra integral equations
are obtained especially when high order approximations are used by the Modified
Bernstein-Kantorovich operators. Test problems are constructed to show the
computational efficiency, applicability and the accuracy of the method. Furthermore,
the applicability of the proposed method on second kind Volterra integral equations
with smooth kernels is also demonstrated with examples.
Secondly we give hybrid positive linear operators which are defined by using the
Bernstein-Kantorovich and Modified Bernstein-Kantorovich operators on certain
subintervals of [0,1]. Additionally, we consider second kind linear Volterra integral
equations with weak singular kernels of the form (x−t)
−vKe(x,t), 0 < v < 1, where
Ke is a smooth function. It is well known that the solution usually possess singularities
at the initial point. Subsequently, we develop a combined method which uses the
proposed hybrid operators and approximates the solution on the constructed subintervals. Two algorithms are developed through the given combined method and
applied on some examples from the literature. Furthermore, numerical validation of
the combined method is also given on first kind integral equations, by first utilizing
regularization. Eventually, it is shown that the proposed combined method hence, the
given computational algorithms are numerically stable and give acceptable accurate
approximations to solutions with singularities.
ÖZ:
Bu ara¸stırmanın ba¸sarısı ikiye ayrılır. ˙Ilk olarak, Modifiye Bernstein-Kantorovich
operatörlerini kullanarak düz(smooth) çekirdekli birinci tür lineer Fredholm ve
Volterra integral denklemlerininin çözümü için nümeriksel bir yöntem verilir. Birinci
tür integral denkleminde bilinmeyen fonksiyon, Modifiye Bernstein-Kantorovich
operatörlerini kullanalarak yakla¸sık hesaplanır. Böylece, ayrı¸strıma uygulanarak elde
edilen lineer denklemler cebirsel lineer denklem sistemlerine dönü¸stürülür. Yöntemin
nümeriksel olarak gerçekle¸smesi a¸samasında çözümlerin giri¸s verileri üzerindeki
hassasiyeti elde edilen sonuçlarda kararsızlıklara yol açabilen önemli zorluklar
olu¸sturabilir. Sonuç olarak, istenen yakla¸sık çözümlerin kararlıgını artırmak için ki bu ˘
nümeriksel çözümlerin dogrulu ˘ gunu belirler, önerilen nümeriksel yöntemde ˘
düzenlile¸stirme özellikleri kullanılır. Fredholm ve Volterra integral denklemlerinin
çözümlerinde, özellikle Modifiye Bernstein-Kantorovich operatörleri tarafından
yüksek dereceli yakla¸sımlar kullanıldıginda daha kararlı yakla¸sımlar elde edilir. ˘
Yöntemin hesaplama verimliligini, uygulanabilirli ˘ gini ve do ˘ grulu ˘ gunu göstermek için ˘
test problemleri olu¸sturulur. Ayrıca, önerilen yöntemin düz (smooth) çekirdekli ikinci
tür Volterra integral denklemleri üzerindeki uygulanabilirligi de örneklerle gösterilir. ˘
˙Ikinci olarak, [0,1] arlıgının belirli alt aralıklarında Bernstein-Kantorovich ve ˘
Modifiye Bernstein-Kantorovich operatörlerini kullanarak tanımlanmı¸s hibrit lineer
pozitif operatörler verilir. Ayrıca Ke düzgün bir fonksiyon olup (x−t)
−vKe(x,t),
0 < v < 1, ¸seklindeki zayıf singülerli çekirdege sahip ikinci tür lineer Volterra integral ˘
denklemleri dikkate alınır. Çözümün genellikle ba¸slangıç noktasında singülerlige˘
sahip oldugu iyi bilinmektedir. Sonradan, önerilen hibrit operatörlerini kullanan ve ˘
çözümü hibrit operatörlerin tanımlandıgı alt aralıklarda yakla¸sık olarak hesaplayan bir
birle¸sik yöntem olu¸sturulur. Verilen birle¸sik yöntem ile iki algoritma geli¸stirilir ve
literatürden bazı örnekler üzerinde uygulanır. Üstelik, önce düzenlile¸stirme
kullanarak birinci tür integral denklemler üzerinde de birle¸sik metodun nümeriksel
dogrulaması yapılır. Sonuçta önerilen sayısal birle¸sik yöntemin, dolayısıyla verilen ˘
hesaplama algoritmalarının sayısal kararlı oldugu ve singülerli ˘ gi olan çözümlere ˘
kabul edilebilir dogruluklu yakla¸sımlar verdi ˘ gi gösterilir.
