This manuscript presents a geometrical framework for flexoelectric membranes based
on stress tensors which mimic the response of a flexoelectric fluid membrane to an
external electric field. This framework is used to study numerically the morphology
of spherically confined flexoelectric fluid membrane vesicles in an external uniform
electric field. The confinement induces membrane deformations, which lead to its
polarization and interactions with the external field. Without such electric fields, the
equilibrium shapes of the vesicle were categorized in a geometrical phase diagram as
a function of reduced volume and the scaled area in the past [1, 2].
When the area of the flexoelectric fluid membrane is a bit larger than the area of the
confining sphere, an axisymmetric invagination can be found with a simple numerical
integration scheme. A non-vanishing electric field induces an additional elongation of
the confined vesicle, which is either perpendicular or parallel depending on the sign
of the electric field parameter. Higher values of surface area or the electric field
parameter reduce the symmetry of the system resulting in more complex folding. To
find equilibrium configurations as a function of volume, area and coupling with the
electric field, two numerical methods were employed. Despite some rather crude
approximations such as assuming a constant electric field, interesting shape
transformations and symmetry breaking are found. Moreover, the resulting shapes
indicate that transition lines are shifted in the presence of an electric field, which leads
to the transition shapes reminiscent of the main protagonist in the video game
"Pac-Man". In these shapes, the invagination of the membrane is not axisymmetric
but deforms into a large elongated slit reminiscent of shapes that can be found with
the area-difference-elasticity (ADE) model for confined membranes without an
electric field [3].
Self-contacts, as observed in this work, can potentially lead to a shape transition, from
a spherical to a toroidal vesicle topology via membrane fusion. It turns out that the
spherical topology is preferred for typical values of the material parameters when the
electric field vanishes. Flexoelectricity could potentially facilitate topology changes.
The obtained folding patterns could be of interest to biophysical and technological
applications alike.
ÖZ:
Bu taslak, bir fleksoelektrik akı¸skan membranının bir dı¸s elektrik alanına tepkisini
taklit eden ve stres tensörlerine dayanan fleksoelektrik membranlar için geometrik bir
çerçeve kurmayı amaçlamaktadır. Bu çerçeve, bir dı¸s üniform elektrik alanı içerisinde
bulunan küresel olarak sınırlanmı¸s fleksoelektrik sıvı membran veziküllerinin
morfolojisini sayısal olarak incelemek için kullanılır. Sınırlandırma, membran
deformasyonlarını tetikler böylece dı¸s alanla polarizasyonuna ve etkile¸simlere yol
açar. Bu tür elektrik alanları olmadan, vezikülün denge ¸sekilleri, ölçeklendirilmi¸s
alanın bir fonksiyonu ve ötesinde azaltılmı¸s hacim olarak bir geometrik faz
diyagramında sınıflandırılmı¸stır [1, 2].
Membranın alanı sınırlandırma küresinin alanından sadece biraz daha büyük
oldugunda, basit bir sayısal entegrasyon ¸seması ile tek bir eksenel simetrik ˘
invajinasyon bulunabilir. Kaybolmayan bir elektrik alanı, sınırlandırılan vezikülde ek
bir uzamaya neden olur ve bu elektrik alan parametresinin i¸saretine baglı olarak dik ˘
veya paraleldir. Daha yüksek yüzey alanı veya elektrik alanı parametresi, sistemin
simetrisini azaltarak daha karma¸sık katlanmaya neden olur. Alan, hacim ve elektrik
alanı ile e¸sle¸smenin bir fonksiyonu olarak denge konfigürasyonlarını bulmak için iki
sayısal çözüm yönteminden faydalanılmı¸stır. Sabit bir elektrik alanı varsaymak gibi
oldukça kaba yakla¸sımlara ragmen, ilginç ¸sekil dönü¸sümleri ve simetri kırılması ˘
bulunur. Ayrıca, ortaya çıkan ¸sekiller geçi¸s hatlarının bir elektrik alanının varlıgında ˘
degi¸sti ˘ gini gösterir, bu da video oyunundaki “Pac-Man” ana kahramanını andıran ˘
geçi¸s ¸sekillerine yol açar. Bu ¸sekillerde, membranın invajinasyonu eksenel simetrik
degildir, ancak elektrik alanı olmayan kapalı membranlar için alan farkı esnekli ˘ gi˘
(ADE) modeliyle bulunabilen ¸sekilleri anımsatan büyük bir uzun yarık ¸seklinde
deforme olur [3].
Bu çalı¸smada gözlemlendigi gibi kendili ˘ ginden temaslar potansiyel olarak membran ˘
füzyonu yoluyla küreselden toroidal vezikül topolojisine geçi¸se yol açabilir. Elektrik
alanı kayboldugunda, küresel topolojinin maddesel parametrelerinin tipik de ˘ gerleri ˘
için tercih edildigi ortaya çıkmaktadır. Fleksoelektrik, potansiyel olarak topoloji ˘
degi¸sikliklerine olanak tanıyabilir. Elde edilen katlama paternleri, biyofiziksel ve ˘
teknolojik uygulamaların her ikisini de ilgilendirebilir.
