In this research, we propose a generalized momentum operator upon imposing the
spatial expansion provided that the EUP relation is confirmed. According to the EUP
algebra, we use A(x) to be an auxiliary function ( or 1+ µ (x)) in the construction of
our new momentum. Thus, we provide a formalism containing the auxiliary function
in the real or complex domain upon which one has the freedom to define a hermitian
or non-hermitian momentum operator. We start with introducing a generalized
Lagrangian density affected by the proposed formalism. Our investigation is
continued on the motion of a quantum particle under the variation of such Lagrangian
density. Besides, we demonstrate the PT -symmetry field theory including the
Ψ(x,t), Ψ∗
(x,t) or ΨPT (x,t) in the structure of the extended Lagrangian density.
Having applied the principle of least action, the Euler-Lagrange equations lead to the
corresponding Schrödinger equations. Upon finding the generalized Lagrangian
density, we obtain the Hamiltonian density, momentum density and energy flux which
are known to be the elements of the stress-energy tensor. The expectation value of the
generalized Hamiltonian density for the hermitian and PT -symmetric fields are
determined where it leads to the energy of the system. Thereupon, we extend the
probability and particle current densities which significantly satisfy the continuity
equation. Next, we develop further the concept of generalized momentum operator
and elucidate the significance of our proposal considering once the real definition and
once the PT -symmetric structure. With solving the eigen-value problems for the
two combinations, we represent the eigen-values and eigen-functions of some
examples of the generalized momentum operator. In accordance with the generalized
Schrödinger equation, the kinetic energy operator is rebuilt and consequently the
Hamiltonian operator is identified based on the imposed potential energy and the new
kinetic energy. The corresponding differential equations are declared and the exact
solutions are computed using the variable transformation method. Accordingly, we
transform the extended Schrödinger equation from x-space into the target space, here
z-space, with the manner whose energy spectrum remains identical. Later, we
demonstrate an illustrative examples based on the idea of a step momentum operator
which is flexible to have a hermitian or the PT -symmetric Hamiltonian operator.
We employ the formalism such that expresses a sudden change in the momentum of a
system at a specific point. To show that, we use a step auxiliary function and develop
the Schrödinger equation considering a quantum particle inside a square well. The
outcomes yield infinite bound states with real energy spectrum for the particles with
hermitian step momentum, it is finite for a particle with PT -symmetric momentum.
Afterwards, we study the PT -symmetric Hamiltonian in two dimensions. Having
considered standard kinetic energy, a two dimensional complex harmonic oscillator
potential is introduced which is invariant under the parity and time reversal operator.
The Schrödinger equation yields real eigen-values with complex eigen-functions. We
also construct the coherent state of the system by using a superposition of 12
eigen-functions. Utilizing the complex correspondence principle for the probability
density, we investigate the possible modifications in the probability densities due to
the non-hermitian aspect of the Hamiltonian.
ÖZ:
Bu ara¸stırmada, EUP ili¸skisinin dogrulanması ko¸suluyla, mekansal geni¸slemeyi ˘
dayatarak genelle¸stirilmi¸s bir momentum operatörü öneriyoruz. EUP cebrine göre,
yeni momentumumuzun in¸sasında yardımcı fonksiyon ( veya 1 + µ (x)) olarak A(x)
kullanıyoruz. Böylece, bir hermityen veya hermityen olmayan momentum operatörü
tanımlama özgürlügüne sahip olan gerçek veya karma¸sık alandaki yardımcı ˘
fonksiyonu içeren bir formalizm saglıyoruz. Önerilen formalizmden etkilenen ˘
genelle¸stirilmi¸s bir Lagrange yogunlu ˘ gu tanıtarak ba¸slıyoruz.Ara¸stırmamız, böyle bir ˘
Lagrange yogunlu ˘ gunun de ˘ gi¸simi altında bir kuantum parçacı ˘ gının hareketi üzerinde ˘
devam ediyor.Ayrıca, a¸sagıdakileri içeren ˘ PT -simetri alan teorisini gösteriyoruz:
Ψ(x,t), Ψ∗
(x,t) or ΨPT (x,t) geni¸sletilmi¸s Lagrange yogunlu ˘ gunun yapısında. En ˘
az etki ilkesini uygulayan Euler-Lagrange denklemleri, kar¸sılık gelen Schrödinger
denklemlerine yol açar. Genelle¸stirilmi¸s Lagrange yogunlu ˘ gunu bulduktan sonra, ˘
gerilim-enerji tensörünün elemanları olarak bilinen Hamilton yogunlu ˘ gu, momentum ˘
yogunlu ˘ gu ve enerji akı¸sını elde ederiz. Hermitian ve ˘ PT -simetrik alanlar için
genelle¸stirilmi¸s Hamiltonian yogunlu ˘ gunun beklenen de ˘ geri, sistemin enerjisine ˘
götürdügü yerde belirlenir. Bunun üzerine, süreklilik denklemini önemli ölçüde ˘
saglayan olasılık ve parçacık akım yo ˘ gunluklarını geni¸sletiyoruz. Daha sonra, ˘
genelle¸stirilmi¸s momentum operatörü kavramını daha da geli¸stirecegiz ve bir kez ˘
gerçek tanım ve bir kez de PT -simetrik yapıyı göz önünde bulundurarak
teklifimizin önemini açıklayacagız. ˘
˙Iki kombinasyon için öz deger problemlerini ˘
çözerek, genelle¸stirilmi¸s momentum operatörünün bazı örneklerinin öz degerlerini ve ˘
öz fonksiyonlarını temsil ediyoruz. Genelle¸stirilmi¸s Schrödinger denklemine göre,
kinetik enerji operatörü yeniden olu¸sturup, uygulanan potansiyel enerjiye ve yeni
kinetik enerjiye dayalı olarak Hamilton operatörü tanımlıyoruz. Kar¸sılık gelen
diferansiyel denklemler bildirilir ve kesin çözümler degi¸sken dönü¸stürme yöntemi ˘
kullanılarak hesaplanır. Buna göre, geni¸sletilmi¸s Schrödinger denklemini x-space’den
hedef uzaya, burada z-space’e, enerji spektrumu aynı kalacak ¸sekilde dönü¸stürüyoruz.
Daha sonra, bir hermitiyen veya PT -simetrik Hamilton operatörüne sahip olmak
için esnek olan bir adım momentum operatörü fikrine dayanan açıklayıcı bir örnek
gösterecegiz. Belirli bir noktada sistemin momentumundaki ani bir de ˘ gi¸sikli ˘ gi ifade ˘
eden formalizmi kullanacagız. Bunu göstermek için, bir adım yardımcı fonksiyonu ˘
kullanıyoruz ve kare bir kuyu içindeki bir kuantum parçacıgını dikkate alarak ˘
Schrödinger denklemini geli¸stiriyoruz. Sonuçlar, hermit adım momentumlu
parçacıklar için gerçek enerji spektrumlu sonsuz baglı durumlar verir, ˘ PT -simetrik
momentumlu bir parçacık için sonludur. Daha sonra, PT -simetrik Hamiltoniyeni iki
boyutta inceleyecegiz. Standart kinetik enerji göz önüne alındı ˘ gında, parite ve zaman ˘
ters çevirme operatörü altında degi¸smez olan iki boyutlu karma¸sık harmonik osilatör ˘
potansiyelini tanıtacagız. Schrödinger denklemi, karma¸sık öz fonksiyonlara sahip ˘
gerçek öz degerleri verir. Ayrıca 12 öz fonksiyonun üst üste binmesini kullanarak ˘
sistemin tutarlı durumunu da olu¸sturacagız. Yo ˘ gunluk olasılı ˘ gı için karma¸sık yazı¸sma ˘
ilkesini kullanıp Hamiltonian’ın hermityen olmayan yönü nedeniyle olasılık
yogunluklarındaki olası de ˘ gi¸siklikleri ara¸stıraca ˘ gız.
