Numerical Methods for Solving Systems of Ordinary Differential Equations

Abstract

ABSTRACT: This thesis concantrates on numerical methods for solving ordinary differential equations. Firstly, we discuss the concept of convergence, local-truncation error, globaltruncation error, consistency, types of stability, zero-stability, and weak-stability. Afterwards, we inform some materials for Euler and Runge-Kutta method. The given ordinary differential equation is analyzed on Euler and Runge-Kutta method to find the approximated solution with the given initial conditions. Then, the stability of each method is examined briefly. We also focus on numerical methods for systems. Then, the reason of the stiff system is discussed. After investigating the numerical methods, we gave advantages and disadvantages of Euler method and Fourth Order Runge-Kutta method. Finally, numerical experiments is applied on Explicit Euler method and Explicit Fourth Order Runge-Kutta method. The approximated solutions with different step-size and analytical solutions of methods are computed in Matlab software. The computation of approximated solutions of methods are compared with analytical solutions. Then we discussed the accuracy of these methods when they are applied to the specified system in Chapter 7. Finally, we conclude that Explicit Fourth Order Runge-Kutta method is more accurate than the Explicit Euler method. Keywords: Ordinary Differential Equations, Numerical solutions, Euler’s method, Runge-Kutta method, Stiff System

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ÖZ: Bu çalışmada adi diferansiyel denklemlerin çözümü için sayısal yöntemler irdelenmiştir. İlk olarak, yakınsama kavramı, yerel kesme hatası, küresel kesme hatası, tutarlılık, kararlılık türleri, sıfır kararlılık ve zayıf kararlılık kavramları incelenmiştir. Ayrıca, Euler ve Runge-Kutta metodları verilmiştir. Verilen bir diferansiyel denklemin, yaklaşık çözümünü bulmak için Euler ve Runge-Kutta yöntemi verilen başlangıç koşulları ile analiz edilmiş ve her bir yöntem için kararlılık kısaca ele alınmıştır. Daha sonra, verilen sistemler için sayısal yöntemlere odaklanılmış ve sert sistemin çıkış sebebi incelenmiştir. Euler yöntemin ve dördüncü dereceden Runge- Kutta yöntemin avantajları ve dezavantajları verilmiştir. Son olarak, sayısal deneyler üzerinde Açık Euler ve Açık dördüncü dereceden Runge-Kutta yöntemleri uygulanmıştır. Farklı adım büyüklüğü ele alınarak yaklaşılan çözümler ve yöntemleri nanalitik çözümleri Matlab yazılımıkullanılarak hesaplanmıştır. Elde edilen yaklaşılır çözümler ile analitik çözümler karşılaştırılmıştır. Daha sonra yöntemler Bölüm 7’de belirtilen sistem üzerine uygulanıp yöntemlerin doğruluğu tartışılmıştır. Son olarak, Açık Runge-Kutta yöntemin yaklaştırılmış çözümünün Açık Euler methoduna göre daha az hatalı olduğu sonucuna varılmıştır. Anahtar Kelimeler: Adi Diferensiyel Denklemler, Sayısal Çözümler, Euler Yöntemi, Runge-Kutta Yöntemi, Sert Sistemi.