This M.Sc. thesis studies the partitions of integers, mainly restricted integers and how
to derive them methodically. Analysis is made of different theories of calculating
integers which are generating functions, Euler’s identity, McMahon’s recurrence,
Sylvester’s approach, Frobenius partitions and generalized partitions. Chapter 1 shows
how to obtain partition identities using Ferrer’s diagram, Durfee square and Jacobi’s
triple product identity. The basic generation of partition of integers is considered first.
This is followed by the expression of partitions using Ferrer’s diagram in chapter 2. In
chapter 3, the number of partitions in a set of integers is calculated using the method
of function generation. Using the preceding chapters, partition identities are obtained
and further explained them in chapter 5 using Durfee squares and its relation to Ferrer’s
diagram. Euler’s identity is proven combinatorically by means of bijection in chapter
6 and Euler’s pentagonal number is used to represent a special case of Jacobi’s triple
product identity in chapter 7. When the pattern of a pentagonal number is notable,
McMahon’s approach is used to generate functions to calculate partitions in restricted
integers as discussed in chapter 8. The first Sylvester wave is defined which is an
explicit formula for the polynomial part of a restricted partition function. The last three
chapters looks at special cases in generalized partitions and use Euler’s result for
identically distributed partitions.
ÖZ:
Bu tez, tamsayıların, özellikle kısıtlı tamsayıların bölümlerini ve bunların metodik
olarak nasıl türetileceğini inceler. Analiz, üreten fonksiyonlar, Euler'in kanunu,
McMahon'un tekrarı, Sylvester'ın yaklaşımı, Frobenius bölümleri ve genelleştirilmiş
bölümler gibi tamsayıları hesaplamak için farklı teorilerden yapılmıştır. Bölüm 1,
Ferrer diyagramı, Durfee karesi ve Jacobi'nin üçlü ürün kimliği kullanılarak bölüm
kimliklerinin nasıl elde edileceğini gösterir. İlk önce tamsayıların bölünmesinin temel
nesli düşünülür. Bunu, bölüm 2'deki Ferrer diyagramını kullanarak bölümlerin ifadesi
takip eder. Bölüm 3'te, bir tamsayı kümesindeki bölümlerin sayısı, fonksiyon
oluşturma yöntemi kullanılarak hesaplanır. Önceki bölümleri kullanarak, bölüm
kimlikleri elde edilir ve Bölüm 5'te Durfee kareleri ve bunun Ferrer diyagramıyla
ilişkisi kullanılarak daha ayrıntılı olarak açıklanır. Euler'in kanunu, 6. bölümde
alıntılama yoluyla kombinatorik olarak kanıtlanmıştır ve Euler'in beşgen sayısı, 7.
bölümde Jacobi'nin üçlü ürün kimliğinin özel bir durumunu temsil etmek için
kullanılmıştır. Beşgen bir sayının modeli dikkate değer olduğunda, McMahon'un
yaklaşımı, 8. bölümde tartışılan kısıtlı tamsayılardaki bölümleri hesaplamak için
fonksiyonlar oluşturmak için kullanılır. Kısıtlı bir bölme fonksiyonunun polinom
kısmı için açık bir formül olan ilk Sylvester dalgası tanımlanmıştır. Son üç bölüm,
genelleştirilmiş bölmelerdeki özel durumlara bakar ve özdeş olarak dağıtılmış
bölümler için Euler'in sonucunu kullanır.
