On the w−Multiple Meixner Polynomials

Abstract

In this thesis, a new family of discrete MOPs, namely ω-multiple Meixner polynomials, where ω is a positive real number is introduced. For ω-MOPs, orthogonality conditions w.r.t r (with r > 1) different Pascal distributions (Negative Binomial distributions) are used. Depending on the selection of the parameters in the Negative Binomial distribution, two kinds of ω-MMPs, namely 1st and 2nd kinds are considered. Some structural properties of ω-MMPs, such as raising operator, Rodrigue’s type formula and explicit representation are derived. The generating function for ω-MMPs is obtained and by use of this generating function several consequences for these polynomials are reached. A lowering operator for ω-MMPs which will be helpful for obtaining difference equation is also derived. By combining the lowering operator with the raising operator the difference equation which has the ω-MMPs as a solution are obtained. A third order difference equation for ω-MMPs is given . Also it is shown that for the special case ω = 1, the obtained results coincide with the existing results for MMPs of both kinds. In the last part as an illustrated example for the ω-MMPs of the first kind the special case when ω = 1/2 is considered and for the 1/2-MMPs of the first kind,the results obtained for the main theorems are stated. For the ω-MMPs of the second kind the special case when ω = 5/3 is studied and for the 5/3-MMPs of the second kind, the corresponding result obtained for the main theorems are examined.

ÖZ: Bu tezde, yeni bir kesikli çoklu ortogonal polinom ailesi, yani ω-çoklu Meixner polinomları çalı¸sılmı¸stır. Burada ω pozitif bir gerçel sayıdır. ω-çoklu Meixner polinomları için r farklı negatif binom dagılımına göre ˘ (r > 1) ortogonallik ko¸sulu kullanılmı¸stır. Seçimine baglı olarak negatif binom da ˘ gılımındaki parametreler, iki tür ˘ ω-çoklu Meixner polinomları, yani 1. ve 2. türler dikkate alınmı¸stır. ω-çoklu Meixner polinomları için bazı yapısal özellikler, örnegin yükseltme operatörü, ˘ Rodrigue’nin tür formülü ve açık temsil türetilmi¸stir. ω-çoklu Meixner polinomları için olu¸sturma fonksiyonu elde edilmi¸s ve bu olu¸sturma fonksiyonunun kullanılmasıyla bu polinomlar için bazı önemli sonuçlara ula¸sılmı¸stır. ω-çoklu Meixner polinomları için Fark denkleminin elde edilmesine de yardımcı olacak bir indirme operatörü türetilmi¸stir. ˙Indirme operatörünü kaldırma operatörü ile birle¸stirerek bu polinomlara ait çözümü olacak fark denklemi elde edilmi¸stir.ω-çoklu Meixner polinomları için üçüncü mertebeden fark denklemi verilmi¸stir. Ayrıca ω = 1 özel durumu için elde edilen sonuçların, her iki türden genel çoklu Meixner polinomlarına ait mevcut sonuçlarla örtü¸stügü gösterilmi¸stir. Son bölümde birinci ˘ türden ω-çoklu Meixner polinomları için ω = 1/2 durumu dikkate alınmı¸s ve elde edilen temel teoremler 1/2-çoklu Meixner polinomları için uygulama olarak gösterilmi¸stir. Benzer gösterim, ikinci türden ω-çoklu Meixner polinomları için ω = 1/2 özel durumu ele alınarak ikinci türden 5/3-çoklu Meixner polinomları için incelenmi¸stir.