Quantum Particle Constrained to a Curved Surface

Abstract

This thesis begins with an introduction of discussing the motion of P non interacting particles constrained in a curved surface of N dimensions. First the particles are described in the flat space R and Cartesian coordinates, an external potential, Vρ is considered to maintain the system constrained in a curved subspace DN. Assuming normal forces to keep particles on the curved surface, the part of Schrödinger equation which is independent of the potential Vρ and contains the curve space variables will be separated to internal and external parts, therefore a new Schrödinger equation is raised that depends on curved surface geometrical properties. In continuation, to explain this problem clearly, we study the motion of one quantum particle that is bounded at an arbitrary point p on a curved surface S in three dimensions. In order to get the true result, a potential V𝝀���� is assumed for the constrained particle so the wave function will be uniformly compressed. Since classical mechanics principal guides us to avoid tangential forces, only normal constraint forces are acceptable to keep particle on the surface. Choosing point Q as an immediate neighborhood for point p and considering differential geometry relations for these points, Schrödinger equation can be obtained. Hence it will be demonstrated that, the internal potential for bounded particle is a function of surface curvatures which cannot be found from metric tensors or its derivatives and so on classical Lagrangian. Therefore there is a strike contrast with classical mechanics where Lagrangian and Newtonian approach give same results. In addition, inconsequence, Schrödinger equation for a particle constrained on a Spherical shell, Cylindrical shell and a Toroid is determined. Finally we obtained Schrödinger equation for a particle constrained on a pseudosphere surface

ÖZ: Bu tez, N boyutlu bir eğri uzayında sınırlandırılan P etkileşimsiz parçacıkların hareketinin tartışılmasıyla başlamaktadır. İlk olarak parçacıklar düz uzay R ve Kartezyen koordinatlarında tanımlanır, bir dış potansiyel olan Vρ, eğri bir alt uzayda DN sınırlandırılmış sistemi korumak için kabul edilir. Parçacıkları eğri uzayında tutmak için normal kuvvetler varsayarsak, Schrödinger denkleminin Vρ potansiyelinden bağımsız olan ve eğri uzayı değişkenlerini içeren kısmı iç ve dış parçalara ayrılacaktır, bu nedenle eğri uzayına bağlı yeni bir Schrödinger denklemi ortaya çıkar. geometrik özellikler. Devamında, bu sorunu açık bir şekilde açıklamak için, bir eğri yüzeyi S üzerinde keyfi bir p noktasında sınırlanan bir kuantum parçacığının hareketini üç boyutlu olarak inceliyoruz. Doğru sonucu elde etmek için, kısıtlı parçacık için bir potansiyel V𝝀��� varsayılır, böylece dalga fonksiyonu düzgün bir şekilde sıkıştırılır. Klasik mekanik ilkesi teğetsel kuvvetlerden kaçınmamıza rehberlik ettiğinden, parçacığı yüzeyde tutmak için yalnızca normal kısıtlama kuvvetleri kabul edilebilir. Q noktası p noktası için yakın komşuluk olarak seçilerek ve bu noktalar için diferansiyel geometri ilişkileri dikkate alınarak Schrödinger denklemi elde edilebilir. Dolayısıyla, sınırlı parçacık için iç potansiyelin, metrik tensörlerden veya türevlerinden ve klasik Lagrange'dan bulunamayan yüzey eğriliklerinin bir fonksiyonu olduğu gösterilecektir. Bu nedenle, Lagrange ve Newton yaklaşımının aynı sonuçları verdiği klasik mekanik ile bir vuruş karşıtlığı vardır. Ayrıca Küresel kabuk, Silindirik kabuk ve Toroid üzerinde kısıtlanmış bir parçacık için tutarsızlık, Schrödinger denklemi belirlenir. Sonunda, bir psödoküre yüzeyi üzerinde kısıtlanmış bir parçacık için Schrödinger denklemini elde ettik.