The Binary Mathematical Morphology on the Triangular Grid

Abstract

Mathematical morphology is a part of digital image processing which has strong mathematical foundation and also has several applications. In digital image processing images are understood on (usually, a finite segment of) a grid. Historically, the square grid is the most used one, theory on the square grid has been developed first and it is applied in the most cases. However, it is also known that other grids have some advantages over the square grid. There are two other regular tessellations of the plane, the hexagonal and the triangular grids. In this thesis, we considered mathematical morphology on the triangular grid. The two basic operations of mathematical morphology are the dilation and the erosion. The input image is changed by the help of structural elements with these operations. Since the triangular grid is not a point lattice we have needed to face to some difficulties when defining dilations and erosions, namely, the triangular grid is not closed under vector addition. We have proposed four possible solutions, namely the”strict”, the”weak”, the”strong” and the”independent” approaches. Definitions, examples and properties of the operations are investigated in each case. Keywords: Mathematical morphology, dilation, erosion, non-traditional grids, triangular grid, adjunction relation, digital image processing, binary images

ÖZ: Matematiksel morfoloji, güçlü matematiksel temeli olan ve ayrıca çeşitli uygulamalara sahip dijital görüntü işlemenin bir parçasıdır. Dijital görüntü işlemelerinde, görüntüler bir ızgara (genellikle, sonlu bir segment) üzerinde anlaşılmaktadır. Tarihsel olarak, kare ızgara en çok kullanılanıdır, teori ilk olarak kare ızgara üzerinde geliştirilmiştir ve çoğu durumda bu yaklaşım uygulanır. Bununla birlikte, diğer ızgaraların kare ızgaraya göre bazı avantajları olduğu da bilinmektedir. Düzlemin diğer iki düzenli döşemesi, altıgen ve üçgen ızgaralardır. Bu tezde üçgen ızgara üzerinde matematiksel morfoloji ele alınmıştır. Matematiksel morfolojinin iki temel çalışması, genişleme ve erozyondur. Giriş görüntüsü bu işlemlerle yapısal elemanların yardımı ile değiştirilir. Üçgensel ızgara nokta kafes olmadığından, genişleme ve erozyonların tanımlanması sırasında bazı zorluklarla karşılaşmamız olasıdır; kısaca üçgen ızgara vektör toplamı altında kapalı değildir. Dört olası çözümü, yani “katı”, “zayıf”, “güçlü” ve “bağımsız” yaklaşımları önerdik. Her durumda operasyonların tanımları, örnekleri ve özellikleri incelenir. Anahtar Kelimeler: Matematiksel morfoloji, genişleme, erozyon, geleneksel olmayan ızgaralar, üçgen ızgara, birleşim bağıntısı, dijital görüntü işleme, ikili görüntüler