Studies on approximations to renewal functions and their applications

Abstract

ABSTRACT: Renewal equations and renewal type equations are frequently encountered in several applications when regenerative arguments are used in the modeling. These equations which are Volterra type integral equations contain the renewal function in the kernel which is a key tool in renewal processes. Analytical solutions of the renewal equations are possible only for a very few cases. Although several approximations for the renewal function are available, the use of any method depends on the characteristics of the underlying distribution function such as skewness, kurtosis, modes, and singularities. Further, all the approximations proposed so far presuppose the knowledge of the underlying distribution function. This thesis proposes nonparametric approximations to several renewal functions based only on the first few moments of the distribution function. The renewal functions considered are onedimensional renewal function, g-renewal function, and two-dimensional renewal function. The approximations are compared with the actual values wherever available and with benchmark approximations. Examples from areas such as reliability, queuing theory, and warranty models are developed to illustrate the efficacy of the approximations. Keywords: Renewal Function, G-renewal Function, Two-dimensional Renewal Function, Moments Based Approximation, General Repair, Renewing Warranty.

………………………………………………………………………………………………………………………… ÖZ: Modellemede tekrar üretilmis ispatlar kullanıldığı zaman, çesitli uygulamalarda, yenilenen denklemler ve yenilenen denklem çesitlerine sıklıkla rastlanmaktadır. Volterra tipi tümlevsel denklemler olan bu denklemler, yenileme surecinde önemli bir araç olan kernel içerisinde yenileme fonksiyonu içermektedirler. Yenilenen denklemlerin sayısal çözümleri sadece bir kaç durumda mümkündür. Yenilenme fonksiyonları için çesitli yaklasımlar bulunmasına rağmen herhangi bir metodun kullanımı temel dağilim fonksiyonunun çarpıklık, basıklık, doruk ve tutarsizlık gibi özelliklerine bağlıdır. Ayrıca simdiye kadar önerilen tüm yaklasımlar, temel dağılım fonksiyonunun bilinmesini varsaymıslardır. Bu tez çesitli yenileme fonksiyonuna, dağılım fonksiyonunun sadece ilk bir kaç momentine göre, parametrik olmayan yaklasımlar öneriyor. Dikkate alınmıs yenilenen fonksiyonlar tek boyutlu, gyenilenen ve iki boyutlu yenilenen fonksiyonlardır. Yaklasımlar, varsa gerçek değerlerle, yoksa en iyi karsılarstırmalı denektasıyla kıyaslanmıstir. Yaklasımların etkinliğini göstermek için örnekler güvenirlilik, kuyruk kuram ve teminat modelleri alanlarında gelistirilmistir. Anahtar Kelımeler: Yenileme Fonksiyonu, G-yenileme Fonksiyonu, Iki-boyutlu Yenıleme Fonksıyonu, Momentlere Bağlı Yaklastırım, Genel Onarim, Temınat Yenilendirmesi.