Matrix Summability Methods

Abstract

The purpose of this study is to prepare a brief summary of some matrix summability methods. This thesis consists of four chapters. In the first chapter, a general introduction to the matrix summability method is mentioned. In Chapter 2, deals with the basic definitions and theorems of sequences associated with matrix summability methods. In this thesis contains some proper examples and definitions that are related to sequences, subsequences, bounded sequences, monotone sequences, convergent sequences, divergent sequences and Cauchy sequences. In addition to this, some basic theorems about sequences and basic properties of infinite matrices are given. Some of properties of infinite matrices; product of matrices, triangle matrices, inverse of matrices, triangular matrices. In Chapter 3, contains the theory of matrix summability methods. In the first part, basic definitions and theorems of matrix summability methods are examined. Then, these two theorems and their examples are given which enable us to learn whether the matrices are conservative matrix (Schur-Kojima Theorem) or regular matrix (Silverman-Teoblitz Theorem). Furthermore, comparable matrix methods (stronger or weaker matrix) are included. In the last section, zero preserving matrix, multiplicative matrix and some related theorems are examined. In the last chapter, some matrix summability methods are discussed together with general definitions, theorems, and examples. Also the proofs of the theorems are given. These methods are: Cesaro methods, Hölder methods, Euler Knopp methods, and Hausdorff matrix methods. Keywords: matrix summability methods, conservative matrix, regular matrix, Cesaro methods, Hausdorff methods, Riesz methods, Hölder methods, Euler methods.

ÖZ: Bu çalışmanın amacı bazı matris toplanabilme yöntemlerinin kısa bir özetini hazırlamaktır. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, matris toplanabilme yöntemine genel bir girişten bahsedilmektedir. Bölüm 2'de, matris toplanabilme yöntemleri ile ilişkili olan dizilerin temel tanımları ve teoremleri ele alınmaktadır. Bu bölümde, diziler, alt diziler, sınırlı diziler, monoton diziler, yakınsak diziler, ıraksak diziler ve Cauchy dizileri ile ilgili tanımlar ve uygun örnekleri bulunmaktadır. Buna ek olarak, sonsuz matrislerin temel özellikleri verilmiştir. Sonsuz matrislerin bazı özellikleri; matrislerin çarpımı, üçgen matrisler, matrislerin tersidir. Bölüm 3, matris toplanabilme yöntemleri teorisini içermektedir. İlk kısmında, matris toplanabilirlik yöntemlerinin temel tanımları ve teoremleri incelenmiştir. Daha sonra, matrislerin konservatif matris (Schur-Kojima Teoremi) veya düzenli matris (Silverman-Teoblitz Teoremi) olup olmadığını öğrenmemizi sağlayan bu iki teorem ve örnekleri verilmiştir. Buna ek olarak, karşılaştırılabilir matris yöntemlerine (daha güçlü veya daha zayıf matris) yer verilmiştir. Son kısımda, sıfır koruyucu matris ve çarpımsal matris yöntemleri ile ilgili bazı teoremler incelenmiştir. Son bölümde, bazı matris toplanabilme yöntemleri genel tanımlar, teoremler ve örneklerle birlikte tartışılmaktadır. Ayrıca teoremlerin kanıtları da verilmiştir. Bu yöntemler: Cesaro metodu, Hölder metodu, Euler metodu ve Hausdorff matris metodudur. Anahtar Kelimeler: matris toplanabilme yöntemi, konservatif matris, regular matris, Cesaro metodu, Hausdorff metodu, Riesz metodu, Hölder metodu, Euler metodu.