q-Multiple Appell Polynomials

Abstract

In 1880, Paul Emile Appell introduced a certain kind of sequence which is named Appell polynomials in the literature. Besides the trivial examples, the most famous Appell polynomials are the Hermite, Bernoulli, and Euler polynomials. An interesting generalization of Appell polynomials, namely q-Appell polynomials were introduced by Walled A. Al-Salam in 1967. The multiple Appell polynomials have recently introduced and investigated in 2011 by D.W.Lee. Also, 2 iterated Appell polynomials defined by Subuhi Khan and Nusrat Raza in 2013. The main purpose of this thesis is to define and investigate univariate q-multiple Appell polynomials, bivariate q-multiple Appell polynomials and 2 iterated q-multiple Appell polynomials. This thesis consist of 5 chapters. In Chapter 1, we recalled the main definitions and properties of the Appell polynomials, the 2 iterated Appell polynomials, the multiple Appell polynomials, the q-Calculus, and the q-Appell polynomials. Chapters 2,3,4 and 5 are original. In chapter 2 we define univariate q-multiple Appell polynomials and obtain equivalence theorem and recurrence relations for them. In chapter 3, we introduce bivariate q-multiple Appellpolynomials via the concept of univariate q-multiple Appell polynomials and obtain explicit representation, equivalence theorem, and recurrence relations for them. In chapter 4, we provide some examples for the polynomials that we define in chapters 2 and 3 such as q-multiple power polynomials, bivariate q-multiple Bernoulli polynomials, bivariate q-multiple Euler polynomials, bivariate q-multiple Bernoulli-Euler polynomials, and q-multiple Hermite polynomials. In the last chapter, we define 2-iterated q-multiple Appell polynomials and we show how we can obtain q-analogue of multiple Hermite polynomials from this definition. We further obtain reccurencen relation for 2-iterated q-mutliple Appell polynomials. Keywords: q-Calculus or Quantum Calculus, Appell Polynomials, q-Appell Polynomials, Two Iterated Multiple Appell Polynomials.

ÖZ: 1880’de Paul Emile Appell, literatürde Appell polinomları olarak adlandırılan polinom dizisini tanımlamı¸stır. A¸sikar örneklerin yanı sıra, en bilindik Appell polinomları Hermite, Bernoulli ve Euler polinomlarıdır. Appell polinomlarının ilginç bir genelle¸smesi olan q-Appell polinomları 1967’de Walled A. Al-Salam tarafından tanımlanmı¸stır. Katlı Appell polinomları yakın zamanda 2011’de D.W. Lee tarafından tanımlanmı¸s ve ara¸stırılmı¸stır. Ayrıca Subuhi Kahn ve Nusrat Raza tarafından 2013 yılında 2 iterasyonlu Appell polinomu tanımlanmı¸stır. Bu tezin temel amacı tek degi¸skenli katlı q-Appell polinomlarını, iki de ˘ gi¸skenli katlı ˘ q-Appell polinomlarını ve 2 iterasyonlu katlı q-Appell polinomlarını tanımlamak ve ara¸stırmaktır. Bu tez, 5 bölümden olu¸smaktadır. Bölüm 1’de Appell polinomlarının, 2 iterasyonlu Appell polinomlarının, katlı Appell polinomlarının, q-Kalkülüsün ve q-Appell polinomlarının tanımları verilmi¸s ve özellikleri özetlenmi¸stir. 2,3,4 ve 5. bölümler orjinaldir. Bölüm 2’de tek degi¸skenli katlı q-Appell polinomları tanımlanmı¸s ve bu tanımın ˘ denklik teoremi elde edilmi¸stir. Ayrıyeten bu tanımın rekürans bagıntıları da ˘ verilmi¸stir. Bölüm 3’te, tek degi¸skenli katlı q-Appell polinomları kavramı aracılı ˘ gıyla, iki ˘ degi¸skenli katlı q-Appell polinomları tanımlanmı¸stır. Bu tanım için denklik teoremi ˘ ispatlanmı¸s ve rekürans bagıntıları elde edilmi¸stir. ˘ Bölüm 4’te 2. Ve 3. Bölümlerde tanımladıgımız polinomlara örnek olarak katlı q- ˘ qüç polinomlarını, katlı q-Bernoullie polinomlarını, katlı q-Euler polinomlarını, katlı q-Bernoullie-Euler polinomlarını ve katlı q-Hermite polinomlarını saglıyoruz. ˘ Son bölümde 2 iterasyonlu katlı q-Appell polinomları tanımlanmı¸stır. Bu tanım yardımıyla katlı q-Hermite polinomlarının q-analogu elde edilmi¸stir. Ayrıca 2 ˘ iterasyonlu katlı a-Appell polinomları için rekürans bagıntıları elde edilmi¸stir. ˘ Anahtar Kelimeler: q-Kalkülüs veya Kuantum Kalkülüs, Appell Polinomları, q-Appell Polinomları, ˙Iki kez yinelenen çoklu Appell Polinomları.