Translations on the Triangular Grid

Abstract

The concept of the grid is broadly used in digital geometry and other fields of computer science; it consists of discrete points with integer coordinates. Coordinate systems are essential for making grids easy to use. Up to now, for the triangular grid, only discrete coordinate systems have been investigated. These have limited capabilities for some image-processing applications, including transformations like rotations or interpolation. In this thesis, we introduce the continuous triangular coordinate system as an extension of the discrete triangular and hexagonal coordinate systems. The new system addresses each point of the plane with a coordinate triplet. Conversion between the Cartesian coordinate system and the new system is described. The sum of three coordinate values lies in the closed interval [-1, 1], which gives many other vital properties of this coordinate system. Moreover, addition of two vectors in the new triangular coordinate system is presented and illustrated. Accordingly, in discrete and digital geometry, rotations with the composition of translations have been measured and examined carefully on the square and the hexagonal grids. The translation has never been considered individually because it obviously leads to the isometric translation on these grids. However, the triangular grid is not a point lattice, thus, it is worth to consider the translation itself. Therefore in this thesis, translations on the triangular grid are investigated and the vectors of bijective and non-bijective translations are specified. Keywords: Barycentric coordinate system, coordinate system, hexagonal grid, triangular grid, trihexagonal grid, non-traditional grids, transformations, image processing, computer graphics, discretized translations, digital geometry

ÖZ: Grid kavramı koordinatları tamsayı olan ayrık noktalardan oluşur ve genellikle dijital geometri ve bilgisayar bilimlerinin diğer alanlarında kullanılır. Koordinat sistemleri gridlerin kolayca kullanımı için gereklidir. Şu ana kadar üçgensel grid için sadece ayrık koordinat sistemleri incelenmiştir. Bu sistemler rotasyon, interpolasyon gibi dönüşümleri içeren bazı görüntü işleme uygulamaları için sınırlı kapasiteye sahiptir. Bu tezde sürekli üçgensel koordinat sistemlerini ayrık üçgensel ve hegzagonal koordinat sistemlerinin bir genişlemesi olarak tanıtıldı. Yeni sistem düzlemdeki koordinat üçlüsü ile birlikte her noktayı adres eder. Kartezyen koordinat sistemi ve yeni sistem arasındaki dönüşüm tanımlandı. Üç koordinat değeri toplamının [-1, 1] aralığında olması bu koordinat sistemine birçok önemli özellik katar. Ayrıca iki vektörün toplanması işlemi yeni üçgensel koordinat sistemde gösterilmiş ve örneklendirilmiştir. Buna göre, ayrık ve dijital geometride bileşke dönüşümleri ile birlikte rotasyonlar ölçülmüş ve kare ve hegzagonal gridlerde dikkatli bir şekilde incelenmiştir. Öteleme tek başına hiçbir zaman düşünülmemiştir çünkü bu gridlerde aşikar bir şekilde izometriği verir. Buna rağmen, üçgensel grid bir kafes noktası değildir, dolayısıyla öteleme kendi başına değerlendirilmeye değerdir. Bu sebepten, bu tezde öteleme üçgensel gridlerde incelenmiş ve bijektif ve bijektif olmayan dönüşümlerin vektörleri belirlenmiştir. Anahtar kelimerler: Barisentrik koordinat sistemi, koordinat sistemi, hegzagonal grid, üçgensel grid, trihegzagonal grid, geleneksel olmayan gridler, dönüşümler, görüntü işleme, bilgisayar grafikleri, ayrıklandırılmış döçnüşüm, dijital geometri