Highly Accurate Implicit Schemes Using Hexagonal Grids for the Approximation of the Derivatives of the Solution of Two Dimensional Heat Equation

Abstract

In this thesis, the first type (Dirichlet) boundary value problem for the heat equation on a rectangle is considered. The research has two main successes. Firstly, we give a two-stage implicit method of second order accuracy for the approximation of the first order derivatives of the solution with respect to the spatial variables. To approximate the solution at the first stage, the unconditionally stable two layer implicit method on hexagonal grids given by Buranay and Arshad in 2020 is used which converges with second order in space and time variable on the grids. At the second stage, for the approximation of first derivatives with respect to the spatial variables we propose special difference boundary value problems on hexagonal grids of which the boundary conditions are defined by using the obtained solution from the first stage. Further, uniform convergence of the solution of the constructed special difference boundary value problems to the corresponding exact derivatives on hexagonal grids with second order is shown. Secondly, we give fourth order accurate implicit methods for the computation of the first order spatial derivatives and second order mixed derivatives involving the time derivative of the solution. These methods are constructed based on two stages: At the first stage of the methods, the solution is approximated by using the implicit scheme given by Buranay and Arshad in 2020 that gives fourth order of convergence in space and first order in time variables to the exact solution on the constructed hexagonal grids. For the approximation of the derivative of the solution to the heat equation with respect to the time variable an analogous scheme is devised. Subsequently, to approximate the first order spatial derivatives and the second order mixed derivatives of the solution difference boundary value problems on hexagonal grids are constructed at the second stages. Further, uniform convergence of these implicit schemes to the corresponding exact derivatives are shown. Eventually, the developed second order and fourth order accurate two-stage implicit methods are used to solve some test problems and the numerical results illustrating the applicability and the accuracy of the methods are presented through tables and figures. Keywords: Finite difference method; Hexagonal grid; Stability analysis; Two dimensional heat equation; Approximation of derivatives.

ÖZ: Bu tezde, dikdörtgen üzerindeki ısı denkleminin birinci türden (Dirichlet) sınır deger ˘ problemi alınmı¸stır. Ara¸stırmanın iki ana ba¸sarısı vardır. ˙Ilk olarak, ısı denkleminin çözümünün birinci mertebeden uzay degi¸skenlere göre ˘ türevlerinin ikinci dereceden dogruluklu yakla¸sık çözümü için iki a¸samalı kapalı bir ˘ yöntem veriyoruz. ˙Ilk a¸samada çözümü yakla¸sık olarak hesaplamak için Buranay ve Arshad tarafından 2020 de verilen uzay ve zaman degisterlerine göre ikinci ˘ mertebeden yakınsak altıgen ızgaralarda ko¸sulsuz kararlı iki katmanlı kapalı metod kullanılmı¸stır. ˙Ikinci a¸samada, birinci mertebeden uzay türevlerin yakla¸sık çözümü için ilk a¸samadan elde edilen çözümleri sınır ko¸sullarınının belirlenmesi için kullanan altıgen ızgaralar üzerinde özel fark sınır deger problemleri önerilmi¸stir. Üstelik, ˘ olu¸sturulan özel fark sınır deger problemlerinin çözümünün kar¸sılık gelen kesin ˘ türevlerine altıgen ızgaralar üzerinde ikinci mertebeden düzgün yakınsadıgı gösterilir. ˘ ˙Ikinci olarak, ısı denkleminin çözümünün birinci mertebeden uzay degi¸skenlere göre ˘ türevleri ve zaman degi¸skenini içeren ikinci mertebeden karma türevlerinin yakla¸sık ˘ çözümü için dördüncü dereceden dogruluklu kapalı metodlar verilir. Bu metodlar iki ˘ a¸samaya baglı olarak olu¸sturulur. Yöntemlerin ilk a¸samasında, çözüm, Buranay ve ˘ Arshad tarafından 2020’de verilen ve uzay degisterlerine göre dördüncü, zaman ˘ degisterlerine göre birinci mertebeden do ˘ gruluk ile altıgen ızgaralarda kesin çözüme ˘ yakınsama veren ¸semalar kullanılarak yakla¸sık olarak hesaplanır. Isı denkleminin çözümünün zaman degi¸skenine göre türevinin yakınla¸stırılması için benzer bir ¸sema ˘ tasarlanmı¸stır. Daha sonra, çözümün birinci mertebeden uzay türevlerini ve ikinci mertebeden karma türevlerininin yakla¸sımı için altıgen ızgaralardaki sınır deger ˘ problemleri ikinci a¸samada olu¸sturulur. Ayrıca, bu kapalı ¸semaların kar¸sılık gelen kesin türevlerine düzgün yakınsaması gösterilir. Sonunda, geli¸stirilen ikinci dereceden ve dördüncü dereceden dogruluklu iki a¸samalı ˘ kapalı yöntemler bazı test problemlerini çözmek için kullanılır ve yöntemlerin uygulanabilirligini ve do ˘ grulu ˘ gunu gösteren sayısal sonuçlar tablo ve ¸sekiller aracılı ˘ gı˘ ile takdim edilir. Anahtar Kelimeler: Sonlu fark yöntemi; Altıgen ızgara; Kararlılık analizi; ˙Iki boyutsal ısı denklemi; Türevlerin yakla¸sımı.