On continued fractions

Abstract

In this thesis we concern two problems related to continued fractions. Euler's differential method: we apply Euler's differential method, which was not used by mathematicians for a long time, to derive a new formula for a certain kind continued fraction depending on a parameter. This formula is in the form of the ratio of two integrals. In case of integer values of the parameter, the formula reduces to the ratio of two finite sums. Asymptotic behavior of this continued fraction is investigated numerically and it is shown that it increases in the same rate as the root function. Bauer-Muir transform: we define a transformation of a certain kind of continued fractions to the same kind of continued fractions. This transformation is obtained by multiple application of the Bauer-Muir transform and then using the limiting process. It is shown that a double application of this transformation is the identity transformation. The obtained result is applied to some classic continued fractions due to Euler and Ramanujan. As a result a new transformation was found which in some special cases infinite continued fraction can be transformed to finite continued fraction. Keywords: Continued fractions, Euler’s differential method, Bauer-Muir transform

ÖZ: Bu tezde sürekli kesirlerle alakalı iki konu çalışıldı. Euler’in differensiyel metodu: Matematikçilerin uzun zamandır kullanmadığı Euler diferensiyel metodunu kullanarak, bir parametreye bağlı sürekli kesirler için yeni bir formül bulundu. Bu formül iki integralin oranı formundadır. Parametrelerin tam sayı olduğu durumlarda bu formül iki sonlu toplamın oranı şeklinde değişir. Bu sürekli kesirlerin asimptotik davranışları üzerinde yapılan sayısal çalışmalar sonunda, kök fonksiyonu ile aynı oranda büyüdükleri görüldü. Bauer-Muir dönüşümü: Belirli bir türden olan sürekli kesirleri yine aynı türe çeviren bir dönüşüm tanımlandı. Bu dönüşüm, birçok kez Bauer-Muir dönüşümü ve daha sonra limit işlemleri uygulanarak bulundu. Dönüşümün iki kez uygulandığı durumlarda birim dönüşüm elde edildiği görüldü. Elde edilen dönüşüm Euler ve Ramanujan’ın sürekli kesirlerine uygulandı. Sonuç olarak, belirli parametreler için sonsuz sürekli kesirleri sonlu sürekli kesirlere çeviren bir dönüşüm bulundu. Anahtar Kelimeler: Sürekli kesirlerle, Euler diferensiyel metodunu, Bauer-Muir dönüşümü