Nonlinear Sequential and Non Sequential Fractional Differential Equations with Integral Boundary Conditions

Abstract

This thesis relies on various fractional differential equations. Based on the classical fixed point theorem summarized by what known as the Banach contraction mapping theorem, nonlinear alternative of Leray-Schauder type and Krasnoselskii’s fixed point theorem, a three different nonlinear fractional differential equations are considered. In chapter four we study the existence and uniqueness for the solution of the nonlinear sequential fractional differential equation involving Caputo fractional derivative and associated with nonlocal integral boundary conditions. In chapter five with a little modifications on the same problem mentioned in the previous chapter lead us to define a new function space with different norm, the boundary condition for this problem can be considered as a generalization of the boundary conditions associated with the problem in chapter four. For these two chapters we illustrate our results by examples given at the end of each one. Whereas, in chapter six which can be considered as two parts, we investigate the existence and uniqueness for the solution of the nonlinear fractional differential equations involving Hadamard and Caputo-Hadamard fractional derivative associated with three points integral boundary conditions, for the applicability of our results we give some examples at the end of this chapter as well. Keywords: fractional differential equation, sequential, Caputo, Hadamard, nonlocal integral boundary conditions

ÖZ: Bu tez, çeşitli kesirli diferansiyel denklemlere dayanmaktadır. Banach sabit nokta teoremi, Leray-Schuader sabitnokta teoreminin doğrusal olmayan alternatifi ve Krasnoselskii sabit nokta teoremleri kullanılarak, üç farklı doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemler dikkate alınmıştır. Dördüncü bölümde, doğrusal olmayan sıralı kesirli diferansiyel denklemin çözümü için Caputo kesirli türevi içeren ve yerel olmayan integral sınır koşullarıyla ilişkili varlığı ve tekliği inceleyeceğiz. Beşinci bölümde ise, önceki bölümde bahsedilen problem üzerinde yapılan bazı değişiklikler, farklı norma sahip yeni bir fonksiyon uzayı tanımlamamıza yol açmış, ve bu bölümdeki problemle ilişkili sınır koşulları dördüncü bölümde verilen probleme ait sınır koşullarının genelleşmesi olarak düşünülmüştür. Bu iki bölümde elde edilen sonuçlar her bölümün sonunda verilen örneklerle desteklenmiştir. Ayrıca, iki kısma ayrılan altıncı bölümde, Hadamard ve Caputo-Hadamard kesirli türevlerini içeren ve üç nokta integral sınır koşulları verilen doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemlerin çözümünün varlığı ve tekliği araştırılmıştır. Bu bölümün sonunda elde edilen sonuçların uygulaması olarak da bazı örnekler verilmiştir. Anahtar kelimeler: kesirli diferansiyel denklemler, Sıralı-Caputo- Hadamard kesirli türevleri, yerel olmayan integral sınır koşulları