Noncommutative Quantum Mechanics

Abstract

We investigate the effect of Noncommutative Quantum Mechanics for a particle in Earth’s gravity using the Hamiltonian in two dimensions. We solve the Schrödinger equation in detail, we then split the Schrödinger equation into x component and y component. For y component, we further solve the equation and obtain a Simple Harmonic Oscillator (SHO) equation. For x component, we come across an imaginary term that makes it a complex equation, after we solve it, we obtain a SHO equation again. The two equations for components of x and y are solved independently, and we obtain their energy levels, normalized stationary states with Hermite polynomials. A perturbation term appears due to noncommutativity in the Schrödinger equation which we dealt with subsequently. Our results contain corrections of which the most important here are the energy levels. Finally, we are able to combine energy levels from both components of x and y, normalized stationary states as our full solutions. Keywords: Quantum Mechanics, Noncommutativity, Schrödinger equation, Hamiltonian, Harmonic Oscillator, energy levels.

ÖZ: İki boyutlu Hamiltonian’ı kullanarak dünyanın yerçekimindeki bir parçacığın Noncommutative Kuantum Mekanik çerçevesinde araştırdık. İki boyutlu Schrödinger denkleminin çözebilmek için bileşenlerine ayırdık. Bileşenler birbirinden ayrı bir şekilde çözülebilmektedir. y bileşeni bilinen harmonik osilatör denklemine dönüşürken, x bileşeninin denklemi kompleks olup, sanal kısmı yine harmonik osilatör denklemine dönüşmektedir. İki bileşenlerinin denklemlerinin birbirinden bağımız çözülerek sitemin kuantum enerji durumlarını hesapladık. Normalize edilmiş dalga denklemleri Hermit polinom çözümlerini içermektedir. Elde ettiğimiz Schrödinger denkleminin çözümleri noncommutative açısal momentum operatörünü içeren kısmını pertürbasyon olarak ele alarak, enerji seviyelerine düzeltmeler hesaplanmaktadır. Enerji ve birleşenlerden oluşan normalize dalga fonksyonları çözümlerini birleştirerek tek çözüm haline dönüşmektedir.