Shift-Variance Analysis of the Q-shift Dual-Tree Complex Wavelet Transform

Abstract

We analyze the shift-variance of the Dual-Tree Complex Wavelet Transform (DTCWT) in this thesis. In our study, the DT-CWT is treated as a generalized sampling process. The analysis of shift-variance is performed in terms of two quantities: the shift-variance level (SVL) and the shift-variance measure (SVM). The SVL describes the amount of distance between the system and the set of systems which are so-called  -shift-invariant (specifying how the system has to respond to the shifted input signal). The SVM is equal to the SVL divided by two times of the system norm. We obtain the SVL and the SVM for the DT-CWT and the scaling function for Kingsbury’s Q-shift filters of length 8, 12, 18, and 22. We observe that the shiftvariance varies as the Q-shift filter length changes. When the length of the filter increases, the SVM becomes closer to the zero. This means that DT-CWT is almost shift-invariance. For better illustrating the shift-invariance property, we consider an input signal and its shifted version to compare the outputs corresponding to the DTCWT and the scaling function. Keywords: Dual-tree complex wavelet transforms, scaling function, shift-variance level, shift-variance measure, Q-shift filters.

ÖZ : Bu tez çalışmasında Çift Ağaç Karmaşık Dalgacık Dönüşümü’nün (ÇA-KDD) değişen dağılımı incelenmektedir. Tez çalışmamızda ÇA-KDD genelleştirilmiş örneklendirme süreci olarak işlem görmüştür. Değişen dağılım analizi, değişen dağılım düzeyi (DDD) ve değişen dağılım ölçütü (DDÖ) olmak üzere iki değer aracılığıyla yapılmıştır. DDD, sistem ve  -değişimden bağımsız (sistemin değişime uğramış giriş sinyaline göre nasıl tepki göstermesini belirleyen) olarak adlandırılan bir dizi sistemler arasındaki uzaklık miktarını tanımlamaktadır. DDÖ ise iki kez sistem modeline bölünmüş olan DDD’ye eşittir. ÇA-KDD için DDD ve DDÖ ve aynı zamanda Kingsbury’nin 8, 12, 18 ve 22 uzunluğunda olan Q-değişkenli filtrelerinin ölçeklendirme fonksiyonları elde edilmiş ve karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonucunda Q-değişkenli filtrelerin uzunluk değişimlerine paralel olarak değişen dağılımının çeşitlilik gösterdiği gözlemlenmiştir. Filtrenin uzunluğunun artırılmasına paralel olarak, DDÖ değerinin sıfıra yakın bir değer aldığı ve ÇA-KDD’nın hemen hemen değişimden bağımsız olduğu ortaya çıkmıştır. Değişimden bağımsız olma özelliğini daha iyi örneklendirmek amacıyla giriş sinyali ve aynı sinyalin değişime uğramış versiyonunun ÇA-KDD ve ölçekleme işlemi ile ilgili çıktılarının karşılaştırılması dikkate alınmıştır. Anahtar Kelimeler: Çift Ağaç Karmaşık Dalgacık Dönüşümleri, ölçekleme işlevi, değişen dağılım düzeyi, değişen dağılım ölçütü, Q-değişkenli filtreler