Fractional Differential Equations: An Approximate – Series Form Solution

Abstract

Modern society faces many nonlinear problems, which nonlinear equations are better suited to understand and address them. Despite having access to high-performance digital computers, we still struggle to find precise and superior solutions to nonlinear problems, particularly the analytical approximation than its numerical consequence. The Aboodh transform iterative method, based on a new iterative method and the Aboodh transform, is the methodology we suggest in this thesis work to solve fractional differential equations, and the fractional order is taken into account by the Caputo operator. The technique combines the Aboodh transform with a fresh iterative approach to produce a series-form solution with easily calculatable components. The decomposition method is suited to visible issues, solve nonlinear problems without linearization, perturbation, or discretization methods, yet requiring less computational work than the traditional conventional methods, the numerical. The nonlinearity and linearity terms are decomposed in a series form. A few examples that are sufficiently backed up by numerical evidences have been provided to show the effectiveness of the scheme. The graphical solution showed how the fractional order of the scheme affected the results. In general, the solution profiles have demonstrated or shown that the scheme is almost exact and strength forward, simple to apply, and computationally less expensive. The solutions to the fractional differential equation’s exact problems are completely consistent with the findings, and the proposed scheme effectively and fully captures its true behavior and fractional effects.

ÖZ: Modern toplum, doğrusal olmayan denklemlerin bunları anlamak ve ele almak için daha uygun olduğu birçok doğrusal olmayan problemle karşı karşıyadır. Yüksek performanslı dijital bilgisayarlara erişimimiz olmasına rağmen, doğrusal olmayan problemlere, özellikle sayısal sonuçlarından çok analitik yaklaşımlara, kesin ve üstün çözümler bulmakta hala mücadele ediyoruz. Yeni bir yinelemeli yönteme ve Aboodh dönüşümüne dayanan Aboodh dönüşümü yinelemeli yöntemi, bu tez çalışmasında kesirli diferansiyel denklemleri çözmek için önerdiğimiz metodolojidir ve kesir sırası Caputo operatörü tarafından dikkate alınır. Bu teknik, kolayca hesaplanabilen bileşenlerle seri formda bir çözüm üretmek için Aboodh dönüşümünü yeni bir yinelemeli yaklaşımla birleştirir. Ayrıştırma yöntemi, görünür sorunlar için uygundur, doğrusal olmayan sorunları doğrusallaştırma, pertürbasyon veya ayrıklaştırma yöntemleri olmadan çözer, ancak geleneksel geleneksel yöntemler olan sayısal yöntemlerden daha az hesaplama çalışması gerektirir. Doğrusal olmama ve doğrusallık terimleri bir seri biçiminde ayrıştırılır. Programın etkinliğini göstermek için sayısal kanıtlarla yeterince desteklenen birkaç örnek verilmiştir. Grafik çözüm, şemanın kesirli sırasının sonuçları nasıl etkilediğini gösterdi. Genel olarak, çözüm profilleri, şemanın neredeyse kesin ve ileriye dönük, uygulanması basit ve hesaplama açısından daha ucuz olduğunu göstermiştir veya göstermiştir. Kesirli diferansiyel denklemin kesin problemlerinin çözümleri, bulgularla tamamen tutarlıdır ve önerilen şema, gerçek davranışını ve kesirli etkilerini etkili ve tam olarak yakalar.